DER TANGENTEN-VERHÄLTNISSE TAUTOZONALER KRYSTALLFLÄCHEN. 527 
Axensystem, sondern auf ein schiefwinkelig-dreizähliges Axensystem 
beziehen wollen, dessen Axen unter einander gleich geneigt und 
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gleich gross sind, so erhalten wir folgende Elemente: es ist 
b=c=a=h, 
BELA per— a: 
Setzen wir diese Werthe in den allgemeinen Ausdruck von tangW, so wird 
sinAy[M’+N’+R”+2cos«(MN+RM+NR)] 
mm’nn’ + rr'mm’ + nn’rr'— cos A [mm’ (nr’ + nr) +nn’(rm’+ r'm) + rr’(mn’+ mn) ] 

tang W= 
und man sieht leicht, wie die Bedingung für die Rationalität der Tan- 
genten-Verhältnisse tautozonaler Kanten wesentlich darauf hinaus- 
läuft, dass cos A einen rationalen Zahlwerth haben muss. Diese 
Bedingung ist aber wirklich erfüllt, sobald die auf den Mittelpunkt ver- 
legten Polkanten eines der vorhandenen Rhombo&der als Axen 
zu Grunde gelegt werden. 
$. 11. Folgerung und Beispiel der Anwendung. 
Wir haben nun unser Problem durch alle Krystallsysteme verfolgt, 
und sind dabei auf die Resultate gelangt, dass in dem tesseralen. 
tetragonalen, rhombischen und hexagonalen Systeme die 
Rationalität der Tangenten-Verhältnisse (wie schon früher bekannt war) 
an sehr einfache Bedingungen geknüpft ist, während in den kli- 
no&ödrischen Systemen etwas complicirtere und auch um so 
mehre Bedingungen erfüllt sein müssen, je unregelmässiger der geo- 
metrische Grundcharakter derselben ist. Wir haben aber an einigen Bei- 
spielen gezeigt, dass diese Bedingungen wirklich erfüllt sind, 
und glauben dadurch eines von denjenigen Bedenken beseitigt zu 
haben, welche gegen die Annahme schiefwinkeliger Axensysteme 
geltend gemacht werden könnten. 
Dass und wie übrigens die gefundenen Resultate bei der Berech- 
nung tautozonaler Kanten zu benutzen sind, diess mag beispielsweise 
an einer der wichtigsten Zonen des Tesseralsystems, nämlich an der 
Diagonalzone des Oktaöders erläutert werden. 
Da in diesem Krystallsysteme die Grund-Dimensionen das Verhält- 
niss 1:1: haben, so erhält der in $. 3 stehende Ausdruck für tangW fol- 
genden Werth: VM’+N’+R 
tangW = — — — ——,—, 
mmnn -rr mm nn rr 
