DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 533 
Nicht unerwähnt darf ich noch lassen, dass schon in einer im Jahre 
1833 ım 8ten Bande des Grelle’schen Journals für Mathematik er- 

Denn sind a, db, ce drei beliebig in einer Ebene gezogene Gerade, von denen 
sich b und c in A, cunda in B, a und b in © schneiden, bestimmt man willkührlich 
die positiven Richtungen von a, b, c, und hiernach die Zeichen der Segmente BC, CA, AB, 
setzt man hierauf noch von den zwei Sinnen, nach welchen eine Linie in der Ebene 
gedreht werden kann, den einen, etwa den von der Linken nach der Rechten, als po- 
sitiven fest und bestimmt hiernach die Winkel bc, ca, ab also, dass be den Winkel aus- 
drückt, um welchen die Gerade b um A nach rechts gedreht werden muss, bis ihre 
positive Richtung mit der positiven Richtung von c identisch wird u. s.w.: so verhält 
sich immer, auch den Zeichen nach: 
BC:CA:AB= sin be: sin ca: sin ab. 
Dass H. Ch. bei dieser Proportion das Princip der Zeichen nicht anwendbar findet, 
hat darin seinen Grund, dass er, statt, wie jetzt geschehen, alle Winkel einer und 
derselben Ebene nach einerlei Sinne zu rechnen, bloss diejenigen Winkel, die eine 
gemeinsame Spitze haben, nach einerlei Sinne schätzt, dagegen von Winkeln, deren 
Spitzen verschieden sind, die Sinne als unabhängig von einander betrachtet. (S.X. oben.) 
Eine solche Annahme kommt aber fast auf dasselbe hinaus, als wenn man von Ab- 
schnitten einer und derselben Geraden nur solche, die einen gemeinschaftlichen An- 
fangspunkt haben, in Bezug auf ihre Richtungen mit einander vergleichen, hingegen die 
Richtungen von Abschnitten, deren Anfangspunkte verschieden sind, als unabhängig 
von einander ansehen wollte. 
Was endlich die Proportionen zwischen homologen Seiten zweier ähnlichen Drei- 
ecke betrifft, so lassen sich die Hauptsätze dieser Lehre (Euclid. VI, 4. bis 7.) unter Be- 
obachtung des Princips der Zeichen etwa folgendergestalt fassen: 
Haben a, b, c, A, B, C dieselbe Bedeutung wie vorhin, werden da, b,...C’ in 
analoger Bedeutung für ein zweites Dreieck genommen, und werden noch die positiven 
Richtungen der Geraden a, b,...c, und der Sinn, nach welchem bei jedem der beiden 
Dreiecke für sich die Winkel gerechnet werden sollen, nach Willkühr festgesetzt, so 
sind, wenn sich die Abschnitte 
I. BC:0A: AB= BC: 0A: AB 
verhalten, die Winkel b’c', c’a‘, ab resp. =be, ca, ab, oder auch resp. = cb, ac, ba; 
und umgekehrt. — Unmittelbar folgt hieraus, indem man von einer der Geraden, etwa 
von a, die vorher negative Richtung zur positiven nimmt, dass, wenn sich 
I. B’C:CA:AB'= 0B:04:AB 
verhalten, die Winkel b’c, ca, ab resp. =be, ca+ 180°, ab ++ 180°, oder auch 
resp. =cb, ac +180°, ba+ 180° sind; und umgekehrt. 
Verhält sich ferner CA: AB=(A:AB, und ist be = be, so hat eine der beiden 
Doppelproportionen I. und II. mit ihren Folgen statt; unbestimmt aber bleibt es, welche, 
und man muss daher, um beide zusammenzufassen , schreiben: 
BC?:CA?=BO?:CA, 2cd=2%ca,2adb=%ab. 
Wenn endlich CA: AB = CA: AB, und ca’ = ca ist, und wenn die Winkel ab und 
ab in einerlei Quadranten fallen, so sind sie auch einander gleich, sowie be = be, 
und es verhält sich BC: CA = BC: CA. 
