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542 A. F. Mösıvs, 
— 180° mit +180°, —270° mit +90°, etc. im Folgenden gleich ge- 
achtet werden. 
Dieses vorausgeschickt, ist immer die Winkelsumme 
(1) ABG-+-CBA=0, mithin CBA=—ALBG; 
(2) ABGC+BCA+CAB=180°. 
Liegt der Punkt D mit A, B, C in einer Ebene, so ist 
(3) ABC+CÜBD=ABC—DBC=CBD—CBA=ABD. 
Dasselbe wird durch die Formeln 
(3 ab+be=ab— cb=b'c— ba ac 
ausgedrückt, worin a, b, ce drei in einer Ebene enthaltene und ihren 
positiven Richtungen nach bestimmte Gerade bedeuten. 
Eben so wie (2), ist GDA+ACD+-DAC=180°, und es kommt, 
wenn man diese Gleichung zu (2) addirt, mit Berücksichtigung von (3): 
(4) ABC+-BED-+-CDA+-DAB—=0, 
wie auch die vier Punkte A,..D in der Ebene liegen mögen. 
Sind A, B, C drei Punkte einer Geraden, so ist 
(5) ABC=0, oder. =180°, 
jenachdem B ausserhalb, oder zwischen A und € liegt. 
Sind A, B, GC, D vier Punkte- eines Kreises, so ist 
(6) ABC+CDA=ABÜ—ADC—0, oder =180°, 
jenachdem B und D auf einerlei, oder verschiedenen Seiten der Sehne AG 
liegen, oder, was dasselbe sagt: jenachdem die Sehnen AC und BD sich 
ausserhalb oder innerhalb des Kreises schneiden. 
Zusatz. Sind ABC und ABC zwei einander ähnliche Dreiecke, 
und sind ihre dadurch zugleich ausgedrückten Sinne gleichnamig, so ist 
der Winkel AB'Ü=ABG, BCA=BÜCA, etc. Bei ungleichnamigen Sinnen 
ist AB'C= —ABC=ÜBA, etc. 
Wenn daher ABC und A’B'C zwei in zwei kreisverwandten Figuren 
einander entsprechende Dreiecke von unendlich kleinen Seiten sind, so 
ist nach $. 5. und zufolge der ın $. 7. gemachten Voraussetzung der 
Winkel ABC = ABC, BCÜA= BÜA, etc. 
$. 9. Lehrsatz. Die zwei Dreiecke MAB und N BA’, welche zwei 
Punkte A und B der einen Ebene mit dem Ü.punkte M der letztern und die 
zwei ihnen entsprechenden in umgekehrter Folge genommenen Punkte A’ und B’ 
der andern Ebene mit deren G.punkte N’ bilden, sind einander ähnlich und 
gleichnamigen Sinnes. 
