DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT, 543 
Beweis. Seien Pund Q zwei dem A unendlich nahe Punkte, welche 
von A geradlinig nach M und nach B zu 
liegen. Alsdann werden auch P' und Q' 
D 
‚@ dem A’ unendlich nahe sein, und zwar P' 
"pP in derGeraden N’A’ über A’ hinaus (8. 6.b.); 
Q’ aber wird ein Punkt des der Geraden AB 
M 

entsprechenden Kreises AB'N sein (8. 6. a.) 
und in diesem Kreise mit B’ auf einerlei 
Seite der Sehne A'N liegen, weil AQBN die Aufeinanderfolge der Punkte 
in dem entsprechenden unendlichenKreise ist (8. 2.). 
Es ist nun der Winkel MAB=PAQ=PAQ (S. 8. Zus.) =180° 
—(VJAN=ANQ+NOQA ($.8.(2))=N'0QA, wegen der unendlichen 
Kleinheit von AN’Q'. Ferner ist NQA=NBA ($. 8. (6)), und daher 
MAB=NB’A'. Auf analoge Weise zeigt sich, dass der Winkel ABM 
—=B'AN;; folglich u. s.w. | 
Zusatz. Die aus den eben gemachten Schlüssen fliessende Gleichung 
NBA=PA'0' kann uns noch zu einer späterhin nützlich werdenden 
Formel hinleiten. Es ist nämlich PAQ0'= A P"AQ0'= N A"A0Q', weil 
AP und N’A einerlei Richtung haben. Die Richtung A'Q’ aber ist einerlei 
mit der Richtung der Kreisbewegung A’B'N' im Punkte A’. Man kann 
daher den Winkel PA'0',= NB'A', auch durch N’A"AB'N' vorstellen 
und erhält damit, A, B, € statt A‘, B', N geschrieben, die für je drei Punkte 
gültige Formel CBA=CA'ABC, 
worin die Ternion ABC neben dem Winkelzeichen die Richtung bedeutet, 
welche der von A durch B nach € gehende Kreisbogen im Punkte A hat. 
Auch lässt sich diese Formel noch darstellen durch 
ABCG=ABÜ'GA oder 
ABG=ABGAC+180°. 
8.10. Folgerungen. a. Wegen der Aehnlichkeit und des gleich- 
namigen Sinnes der Dreiecke MAB und N'B’A' ist der Winkel AMBb 
—=BNA=-—ANDP', d.h. der Winkel, den in der einen Ebene zwei 
durch ihren C.punkt gelegte Gerade mit einander machen, ist dem von 
den entsprechenden und daher (8. 6. b.) durch den C.punkt der andern 
Ebene gehenden Geraden gebildeten Winkel gleich, nur von entgegen- 
gesetztem Zeichen. 
