DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 545 
.f. Mittelst des Lehrsatzes in $. 9. und der jetzt aus ihm gezogenen 
Folgerungen lässt sich noch die Realität der bisher nur problematisch 
angenommenen Kreisverwandtschaft leicht darthun. . 
Wenn nämlich in den beiden Ebenen p und p der positive Sinn 
einer jeden, ihre C.punkte M und N und zwei einander entsprechende 
Punkte A und A’ gegeben sind, so kann man nach $. 9. zu allen an- 
dern Punkten B, GC, D,... in p die entsprechenden B', @', D',... in p' 
dadurch bestimmen, dass man die Dreiecke NA’B', NA'QC', NAD‘, etc. 
ähnlich und gleichnamigen Sinnes mit den Dreiecken MBA, MCA, MDA, etc. 
macht; und es ist nun noch zu zeigen, dass, wie es die Definition der 
Kreisverwandtschaft verlangt, von je vier Punkten in p oder p’‘, welche 
in einem Kreise liegen, die entsprechenden in p oder p gleichfalls in 
einem Kreise enthalten sind. 
In der That sind in Folge der gemachten Construction erstens die 
Winkel ANB, ANC, AND‘, etc. = — AMB, —AMG, etc., und daher 
überhaupt jeder von zweien der Richtungen N’A', NB‘, NC‘,... gebildete 
Winkel = dem von den zwei entsprechenden unter den Richtungen 
MA, MB, MG,... gebildeten Winkel, nur von entgegengesetztem Zeichen, 
z.B. BNC=CMB; es sind zweitens die Längen N’A', NB', N'C',... 
den Längen MA, MB, MG,... verkehrt proportional, z.B. N'B:NC 
—=MC:MB. Mithin sind die Dreiecke MBC und NCB', und eben so 
nächst den vorhin genannten auch je zwei andere Dreiecke, welche an 
M und N’ von zwei Paaren entsprechender Punkte in umgekehrter Folge 
gebildet werden, einander ähnlich und gleichnamigen Sinnes. Es be- 
steht folglich zwischen je vier Punkten, etwa A,..D, der einen Ebene 
und den entsprechenden A,..D’in der andern die in e. erhaltene Winkel- 
gleichung ABC+CDA=ABUÜ+ CDU. 
Liegen nun A,..D in einem Kreise, und ist daher nach 8. 8. (6) die 
linke Seite dieser Gleichung =0, oder =180°, so müssen zufolge dieser 
Gleichung und mit Anwendung des auch umgekehrt geltenden Satzes in 
S.8. A,..D' gleichfalls in einem Kreise liegen, wie zu beweisen war. — 
Man bemerke nur noch, dass, nach demselben Satze, jenachdem sich 
die Sehnen AG und BD des erstern Kreises ausserhalb oder innerhalb 
desselben schneiden, ein Gleiches von den entsprechenden Sehnen des 
letztern geschieht, was damit übereinstimmt, dass die sich entsprechen- 
den Punkte sich entsprechender Kreise in jedem nach einerlei Ordnung 
auf einander folgen ($. 2.). 
Abhandl. d. K. S. Ges. d.Wissensch, IV. 39 
