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$. 11. Um die in d. und e. des vor. $. erhaltenen Beziehungen 
zwischen kreisverwandten Figuren einfach ausdrücken zu können, wollen 
wir ein durch vier Punkte A,..D einer Ebene bestimmtes Verhältniss 
von der Form AB.CD:BUÜ.DA em Doppelverhältniss, und eine 
Winkelsumme von der Form ABC+GDA, die sich auch als der Winkel- 
unterschied ABC— ADC oder EDA— ÜBA schreiben lässt, einen Doppel- 
winkel nennen. 
Dieses festgesetzt, ist bei zwei kreisverwandten ebenen 
Figuren nach der Folgerung d. jedes Doppelverhältniss, und 
nach e. jeder Doppelwinkel der einen Figur dem auf gleiche 
Weise aus den entsprechenden Punkten der andern ge- 
bildeten Doppelverhältnisse oder Doppelwinkel gleich. 
Weil D.verhältnisse und D.winkel die einfachsten von den C.punkten 
unabhängigen Grössen sind, welche bei der Kreisverwandtschaft von 
einer Figur zur andern gleiche Werthe haben, und weil sich deshalb 
erwarten lässt, dass diese Grössen bei unsern weitern Untersuchungen 
besonders häufig in Rechnung kommen werden, so wollen wir im Voraus 
einen Algorithmus uns zu bilden suchen, mit dessen Hülfe wir der- 
gleichen Rechnungen möglichst kurz und bequem ausführen können. 
Betrachten wir zuerst das D.verhältniss AB.CD:BC.DA, so er- 
giebt sich aus dessen erstem Gliede das zweite, wenn man im ersten 
statt dessen ersten, zweiten, dritten und vierten Buchstaben resp. den 
zweiten, dritten, vierten und ersten setzt. Wir wollen daher dieses 
D.verhältniss, um uns das doppelte Schreiben seiner Buchstaben zu er- 
sparen, durch sein erstes Glied allein, das wir nach Weglassung des 
Multiplicationszeichens (.) mit Haken einschliessen, also durch 
(ABGD) 
ausdrücken. 
Umgekehrt wird hiernach von dem abgekürzt ausgedrückten D.ver- 
hältnisse (BCDA) das erste Glied BC.DA und das zweite CD. AB sein. 
Zugleich ersehen wir hieraus, dass (BGÜDA) —= dem reciproken Werthe 
von (ABCD)Y ist, und dass daher, wenn man in dem Ausdrucke eines 
D.verhältnisses die cyklische Aufeinanderfolge der Buchstaben, auch 
dem Sinne nach, beibehält, zum ersten Buchstaben aber den ursprüng- 
lich zweiten nimmt, der Werth des neuen D.verhältnisses dem reci- 
proken des ursprünglichen gleich ist. Man hat demnach 
or A h 1 
