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D.winkeln andererseits. Um sie zu erhalten denke man sich zu einem 
beliebigen System von vier in einer Ebene liegenden Punkten A, B, €, D 
ein kreisverwandtes System A',..D" construirt und nehme dabei D als 
C.punkt jener Ebene, also .D’ unendlich entfernt an. Alsdann sind die 
D.verhältnisse und D.winkel der Figur A..D den einfachen Verhältnissen 
zwischen den Seiten des Dreiecks Ab’C’ und dessen Winkeln gleich, 
und alle die bekannten Relationen, welche zwischen diesen einfachen 
Verhältnissen und Winkeln statt haben, müssen bei den entsprechenden 
D.verhältnissen und D.winkeln der Figur A..D sich wiederfinden. 
In der That verhält sich (8. 10. d.) 
AB.CD:BG.DA= AB. ÜD: BC.DA= AB: BC, 
weil, wegen der unendlichen Entfernung des D', € D:DA=1:4 ist, und 
eben so BG.AD:CA.DB=P'C:CA. 
Ferner hat man N 
ABCD=ABCD=APB'EC, 
weil aus demselben Grunde der Winkel (’D’A’= 0 ist; und gleicherweise 
BCAD=B'CA, CABD=CAB. 
Die drei Winkel x 
ABCD, BCAD, CABD, 
deren Summe wir bereits in 8. 13. = 180° fanden, sind demnach die 
Winkel eines Dreiecks, dessen ihnen gegenüberliegende Seiten sich wie 
AUG.bD, BA.CD, GB.AD verhalten. *) 
Insbesondere ist daher 
sin ABCD:sin BCAD= AUG.BD:BA.CD=(CABD). 
Folgerungen. a. Sind die drei D.winkel ABCD, BCAD, GABD 
eines ebenen Vierecks den einfachen Winkeln A’B’C', etc. eines Dreiecks 
gleich, so sind auch die drei D.verhältnisse (ABCGD), etc. beim Viereck 
den einfachen Verhältnissen A’B':B'C, etc. beim Dreieck gleich, und 
umgekehrt. 
b. Wenn der €.punkt D der Ebene ABC ausserhalb (innerhalb) des 
Kreises ABC liegt, so liegt auch der C.punkt der Ebene A’B’C ausserhalb 

*) Ich habe diesen Satz bereits in meinem im Eingange zuerst erwähnten Aufsatze 
S. 49 aufgestellt und durch Anwendung complexer Grössen bewiesen. Ich hielt’ ihn 
damals für neu. Wie ich indessen durch meinen geehrten Freund, Herrn Dr. Balzer in 
Dresden, später benachrichtigt worden bin, ist derselbe Satz nebst mehreren aus ihm 
gezogenen interessanten Folgerungen schon in einer in Grunert’s Archive der Math. 
Bd.lI. 5.240 befindlichen Abhandlung des Herrn Prof. Bretschneider in Gotha enthalten. 
