DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 553 
(innerhalb) des Kreises AB’C ($. 6. c.). Die Sinne der Kreisbewegungen 
ABC und A’B'C sind alsdann gleichnamig (ungleichn.) (8.7.), und folglich 
die Winkel ABC und ABC gleichartig, d. i. beide hohl, oder beide er- 
haben (ungleichartig, d.i. der eine hohl, der andere erhaben) ($.8. Zus.). 
Der Winkel ABC ist aber nach dem Obigen =ABCD, und folglich ABCD 
gleichartig (ungleichartig) mit ABC. 
Jenachdem daher von vier Punkten A,..D in einer Ebene der eine 
D ausser- oder innerhalb des durch die drei übrigen A, B, C zu be- 
schreibenden Kreises liegt, ist der D.winkel ABCD gleichartig oder un- 
gleichartig mit dem einfachen ABC. 

$. 17. In S. 10. ist gezeigt worden, wie zu einem Systeme in einer 
Ebene p liegender Punkte A, B,... in einer andern Ebene p’ ein ihm 
kreisverwandtes A'’B',... construirt werden kann, wenn noch die 
positiven Sinne in p und in p', die beiden C.punkte M und N’, so- ° 
wie der Punkt A’ gegeben sind. Somit sind von drei Punkten M, N, A 
in p die entsprechenden M', N’, A’ in p' gegeben, nur dass dabei N und 
M’ unendlich entfernt liegen. Indessen kann man hiernach erwarten, 
dass überhaupt mit drei willkührlich angenommenen Punkten in p‘, 
welche irgend dreien des Systems in p entsprechen, das System in p' 
sich construiren lassen wird. — Nachfolgende Sätze werden diese Er- 
wartung rechtfertigen. 
Lehrsatz. Nach Feststellung der positiven Sinne in den Ebenen 
p und p’ zweier Dreiecke ABC und AB’C kann in der Ebene des einen 
ABG ein Punkt M unzweideutig so bestimmt werden, dass die D.winkel 
des Vierecks ABGM den Winkeln des Dreiecks A’b’C gleich werden, 
nämlich | 
ABCECM=APBÜC, BCAM=BÜCA, also auch CABM=(AR. 
Beweis. Nach 8. 1. c. ist die erste dieser Gleichungen identisch 
mit ABC’AMC=ABEC, 
und die zweite, wofür man auch AUBM = AP’ schreiben kann , -iden- 
tisch mit ACB’AMB= ABG’ANB+180°= AGB. 
Hiernach findet sich M, als der zweite Durchschnitt zweier Kreise, von 
denen der eine AMC, durch A und € gehend, mit dem Kreise ABC in A 
einenWinkel = A'B'C bildet, und der andere AMB, durch A und B gehend, 
mit demselben Kreise ABC in A einen Winkel =AUB+180° macht. 
