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Zusatz. Die Sinne in den Ebenen p und p’ sind von einander un- 
abhängig. Wird der Sinn in p so angenommen, dass der Winkel ABC 
hohl ist, so kann nach der Bestimmung des Sinnes in p' der Winkel ABC 
entweder gleichfalls hohl, oder auch erhaben sein. Jede dieser zwei 
Bestimmungen giebt aber für den Punkt M einen andern Ort. Denn bei 
der erstern (letztern) ist der Winkel ABC mit A'’B’C', also auch mit ABCM 
gleichartig (ungleichartig), und M liegt folglich (vor. $. Zus. b.) ausser- 
halb (innerhalb) des Kreises ABC. 
8.18. Lehrsatz. Werden, wie es nach vorigem Satze möglich 
ist, in den Ebenen zweier Dreiecke ABC und ABC! resp. die Punkte 
M und N’ so bestimmt, dass nach Festsetzung der Sinne in den beiden 
Ebenen die D.winkel des Vierecks ABCM den Winkeln des Dreiecks 
AB, und ebenso die D.winkel des Vierecks A’B'CN den Winkeln des 
Dreiecks ABC gleich werden, so sind die Dreiecke N'AB', N BC, NCA 
‚resp. den Dreiecken MBA, MCGB, MAC ähnlich und mit ihnen gleich- 
namigen Sinnes. 
Beweis. Zu Folge der geforderten Lage von M und N soll sein 
ABC+ÜCMA=ABÜU und ABC+ÜENA=ABE. 
Die Addition dieser Gleichungen giebt EN A-+CMA=0 oder 
(a), EN A=AME. 
Aus derselben Gleichheit der D.winkel der Vierecke ABCM und 
ABCN mit den Winken der Dreiecke A’B'C’ und ABC folgt ferner 
(8. 16. Zus. a.) 
AB.CM:BC.AM=AB:BÜ und 
AB.CN:BC.AN=AB:BG, mithin 
(b) CN:AN=AM:CM. 
Aus (a) in Verbindung mit (b) fliesst aber, dass die Dreiecke NA’ und 
MAC einander ähnlich und gleichnamigen Sinnes sind; und ähnlicher- 
weise lässt sich dasselbe für die Dreiecke N’A'B’ und MBA, N'B'C und 
MGB beweisen. 
8. 19. Lehrsatz. Soll zu einem Systeme von Punkten 
A,B,C,D,... in einer Ebene p ein ihm kreisverwandtes 
in einerEbene p construirt werden, so können drei Punkte 
des letztern, — es seien die den A, B, € entsprechenden A', B', €, — 
desgleichen die positiven Sinne in p und p willkührlich 
senommen werden. Alsdann aber ist der jedem vierten 
