DIE THEORIE DER KREISYERWANDTSCHAFT, 85 
Punkte des,erstern Systems entsprechende Punkt des 
letztern unzweideutig bestimmt. 
Beweis. Man füge auf die in 8. 17. bemerkte Weise zu den Drei- 
ecken ABC und ABC die Punkte M und N’ hinzu, so sind nach $. 18. 
die Dreiecke MBA und N A'B', sowie MCA und N'A’C einander ähnlich 
und gleichnamigen Sinnes. Und wenn auf gleiche Art zu jedem vierten 
Punkte D der entsprechende D’ dadurch bestimmt wird, dass man dem 
Dreiecke MDA das Dreieck NAD’ ähnlich und gleichnamigen Sinnes 
macht, so sind die Figuren ABCD... und AB’CD‘... kreisverwandt 
(Sni0.f.); 
Zusätze. a. In den Fällen, wenn einer der beiden Kreise ABC 
und ABC’, oder auch beide, gerade Linien sind, ist die Bestimmung der 
C.punkte M und N nach $. 17. mit Hülfe von D.winkeln nicht mehr 
statthaft, sondern es müssen D.verhältnisse angewendet werden. 
In der That, liegen A, B, GC in einer Geraden, und desgleichen auch 
A’, B', @, so sind in denselben Geraden resp. auch M und N begriffen, 
so dass (ABCM}=(ABCM)= — AB: B'C 
und (ABUN)=(ABUEN) = —AB:BE. 
Hiernach werden unter gehöriger Berücksichtigung der Vorzeichen, wenn 
das Verhältniss — (AB: BC): (AB:BC)=e'l 
gesetzt wird, M und N mittelst der Proportionen 
GM:MA=e:l und CN: NA =1:e gefunden. 
Liegen aber nur A', B', € in einer Geraden, so ist M ein Punkt des, 
Kreises ABC und darin nach derselben Proportion wie vorhin zu be- 
stimmen. Es geschieht dieses mittelst eines die Linie CA rechtwinklig 
und harmonisch in dem Verhältnisse e:1 schneidenden Kreises (vergl. 
$. 22. a.), indem von den zwei Durchschnitten desselben mit dem Kreise 
ABU derjenige der Punkt M ist, von welchem aus A, B, G im Kreise in 
derselben Ordnung wie A’, B', C in der Geraden auf einander folgen. 
N’ kann hierauf dadurch gefunden werden, dass man das Dreieck NAB 
ähnlich und gleichnamigen Sinnes mit MBA macht. 
b. Der Punkt D’ kann, ohne vorherige Ermittelung der G.punkte 
M und N, auch geradezu mit Hülfe der Formeln 
ABC’ADC=AB'C"ADC und ACB’ADB=ACh "ADB 
(8. 1%. e.) gefunden werden, wonach D’ der zweite Durchschnitt zweier 
Kreise ist, von denen der eine, durch A’ und (@ gehend, mit dem Kreise 
