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8. 22. Folgerungen und Zusätze. a. Ist X irgend ein Punkt 
des Kreises k und daher ein sich selbst entsprechender, so sind die Drei- 
Sr DAT ecke MDX und MXD' einander ähnlich, und es . 
\ bahes verhält sich deshalb MD:DX=MX:XD‘. Dies 
7 giebt den bekannten Satz, dass von einem Punkte 

EEE A D 
| } X eines Kreises zum andern das Verhältniss 
A DX: XD’ zwischen den Abständen des X von zwei 
festen Punkten D und D', durch welche ein Durchmesser des Kreises 
harmonisch getheilt wird, unverändert, =MD:MX, bleibt. 
Mittelst derselben Figur lässt sich auch der umgekehrte Satz dar- 
thun, dass der ebene Ort eines Punktes X, dessen Abstände von zwei 
festen Punkten D und D’ der Ebene in einem gegebenen Verhältnisse 
= e:l stehen, ein Kreis ist, welcher die Linie DD’ rechtwinklig und har- 
monisch schneidet. Denn bestimmt man in der Geraden DD’ den Punkt M 
also, dass der Winkel DXM=DD'X wird, so entstehen die zwei einander 
ähnlichen Dreiecke MDX und MXD', und es verhält sich daher 
MD:MX=MX:MD'=DX:XD=e:1, 
mithin MD:MD’= ee:t, und es ist folglich M eben so, wie D und D/, ein 
fester Punkt. Deshalb, und weil MX=MD:e=e.MD‘, ist der Ort von X 
ein Kreis, welcher M zum Mittelpunkte hat. Bezeichnen endlich H und J 
die Durchschnitte dieses Kreises mit DD’, so hat man DH: HD’= DJ: JD' 
=e:l, und es sind folglich D, D’ und H, J zwei harmonirende Paare 
a 
von Punkten. 
‘b. Sowie daher, wenn A, B, Ü feste Punkte sind, der durch die 
Gleichung 2.ABGX=0 bestimmte Ort von X ein Kreis ist ($. 1%. a.), so 
ist es auch der durch die Gleichung 
(a) (ABCN=1 
d.i. durch die Proportion AX:XG=AB:BÜC bestimmte Ort. Bei ersterer 
Gleichung sind A, B, C Punkte des Kreises selbst; bei letzterer ist nur B 
ein solcher, indem der Proportion Genüge geschieht, wenn B statt X 
gesetzt wird, und durch A und G wird ein Durchmesser des Kreises har- 
monisch getheilt. 
c. In vorliegender Abhandlung werden, wie schon erinnert worden 
(8. 10. d.), alle Linien in absolutem Sinne genommen, so dass zwischen 
Ab und BA kein Unterschied statt hat. Berücksichtigt man aber diesen 
Unterschied, so kann das vorige (A..X) ebensowohl = —A, als = +1 
sein, da ein D.verhältniss nach der willkührlichen Annahme der von 
