DIE TuEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 561 
$. 2%. In eine andere noch merkwürdigere Lage können wir die 
jetzt mit p auf besagte Weise coincidirende Ebene p’ gegen p versetzen, 
wenn wir sie parallel mit p und ohne Drehung in sich fortführen, so dass 
ihr bisher mit M coineidirender C.punkt N’ ein auf p in M errichtetes 
Perpendikel von einer Länge —=c beschreibt. Am Ende dieser Bewegung, 
wo MN =c geworden, haben MA und NA’, ebenso wie anfangs, noch 
einerlei Richtung. Die Dreiecke AMN’ und MN’A’ liegen daher in einer 
Ä und derselben auf p und p normalen Ebene, sind 
EN folglich resp. bei M und N’ rechtwinklig und deshalb 
| 4 und wegen der Proportion AM:MN—=MN':N'A' ein- 
ander ähnlich. Mithin ist der Winkel AN M=MAN 
— 90°— N'MA', und es schneiden sich daher MA’ und 
\v’ NA rechtwinklig. Aus analogem Grunde schneiden 
sich auch MB’ und N B, MÜ und NGC, ete. unter 
p | pP‘ rechten Winkeln. Die Durchschnittspunkte selbst, die 
Ar 



man resp. A,, B,, G,, etc. nenne, liegen folglich auf 
einer Kugelfläche, von welcher MN ein Durchmesser ist. 
Somit erscheinen die zwei ebenen Figuren ABC... und ABC... 
als die stereographischen Projectionen einer und derselben, das einemal 
aus N, das anderemal- aus M betrachteten, sphärischen Figur A,B,G,..:, 
und man sieht hieraus leicht, wie man mit Anwendung einer Kugelfläche 
und durch blosses Ziehen gerader Linien zu einem Systeme von Punkten 
A, B,... in einer Ebene p ein ihm in einer andern Ebene p nach dem 
Geselz entsprechendes System A’, B’,..., dass die Dreiecke MAB und 
N'BA,, etc. einander ähnlich sind ($. 9.), construiren kann. 
Man lege nämlich die zwei Ebenen p und p' mit ihren Punkten M 
und N’ berührend an eine Kugelfläche, so dass MN’ ein Durchmesser 
der Kugel wird, projicire hierauf die in p gegebenen Punkte A, B,... 
von N aus auf die Kugelfläche, und diese Projectionen A,,B,,... vonM aus 
auf die Ebene p, und es werden die damit erhaltenen Punkte die ge- 
suchten A', B',... sein. R 
Zugleich entspringt aus dieser Construction ein neuer Beweis für 
die Kreisverwandtschaft der beiden Figuren. Denn es ist eine schon von 
Ptolemäus gekannte Eigenschaft der stereographischen Projection, dass 
bei ihr jeder Kreis auf der Kugelfläche sich wieder als Kreis projicirt, 
so wie umgekehrt jeder Kreis in der Projectionsebene, auf die Kugel- 
Nläche projieirt, einen Kreis giebt. 
Abhandl. d. K. 8. Ges. d. Wissensch. IV. 40 
