Die TrEoRIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 563 
AB:Nb=BA,:NA,, und eben so 
CB:NB=B,G,:NG,; folglich 
AB:BÜ=(A,B,:B,G,):(NA,:N’C,), und ebenso 
AD:DÜ=(A,D,:D,G,):(NA,:N’G,); folglich 
(ABCD)=(A,B,G,D,). 
8. 26." Zusätze. a. Mit Hülfe dieser aus dem Begriffe der 
stereographischen Projection unmittelbar gefolgerten Gleichheit ent- 
sprechender D.verhältnisse in den Figuren AB... und A,B,... kann sehr 
leicht noch die Aehnlichkeit in den klemsten Theilen und das Ent- 
sprechen von Kreisen bei diesen Figuren bewiesen werden. 
Denn ist ABC, und daher auch A,B,C, , ein unendlich kleines Drei- 
eck, und sind resp. D und D, zwei endlich von diesen Dreiecken ent- 
fernte Punkte, so verhält sich AD:DC=A,D,:D,G,=1:1; folglich ist 
(ABCD=AB:BC und (A,B,G,D)=A,B,:B,G,, folglich AB:BC=A,B;:B,C;; 
und eben so wird bewiesen, dass BÜ:CA=B,Q,:@,A,. Mithin sind ABC 
und A,b,G,, d.h. je zwei einander entsprechende unendlich kleine Drei- 
ecke, einander ähnlich. 
Liegen ferner die Punkte A,, B,, G,, D, der Kugelfläche in der ge- 
nannten Folge in einem Kreise, so ist nach einem Satze des Ptolemäus 
A,B,.D,C,+A,D,.B,C,=B,D,.C,A, oder 
(A,B,D,C,)) + (A,D,B,C))=1; folglich auch 
(©) (ABDC) + (ADBÜ) =1, 
woraus, da der Satz des Ptolemäus auch umgekehrt gilt, die Kreislage 
der Punkte A, B. Ü, D fliesst. 
b. Der ptolemäische Satz und dessen Umkehrung können sehr ein- 
fach mit Hülfe des Satzes in 8. 16. bewiesen werden, «dass in einem 
Dreiecke, dessen Winkel = ABCD, BUAD, CABD sind, die gegenüber- 
liegenden Seiten sich wie AG.BD, BA,CD, GEB AD verhalten. Denn liegen 
die Punkte A, B, Ü, D in dieser Folge in einem Kreise, und ist daher 
(1) ABCD=130), 
also ein Winkel des Dreiecks =180°, so ist die ihm gegenüberliegende 
Seite der Summe der beiden andern gleich, folglich 
(2) BA.CD+-CB. AD=AQC.BD, 
welches der directe Satz ist. Und da umgekehrt aus der Relation (2) 
zwischen den Seiten des Dreiecks die Winkelgleichung (1) folgt ($. 16. 
Folg. a.), so muss auch der umgekehrte Satz bestehen. 
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