56% A. F. Mößıvs, 
c. Der ptolemäische Satz und seine Umkehrung sind für die Kreis- 
verwandtschaft insofern noch von besonderem Werthe, als ihnen zufolge 
diese Verwandtschaftauch dadurch definirt werden kann, 
dass jedes D.verhältniss zwischen je vier Punkten der 
einenEbene dem D.verhältnisse zwischen den entsprechen- 
den Punkten der andern gleich ist. Denn sind A, B, GC, D vier 
in einem Kreise auf einander folgende Punkte, und besteht daher zwi- 
schen ihnen nach dem directen ptol. Satze die Gleichung (2) oder («), so 
muss nach dieser Definition dieselbe Gleichung auch zwischen A‘, ..D' 
Gültigkeit haben, und es müssen folglich nach dem umgekehrten Salze 
A',..D' in Kreislage sein. 
Auf gleiche Art kann, wie hier noch bemerkt werden mag, die 
Kreisverwandtschaft auch durch die Gleichheit entspre- 
chender D.winkel definirt werden; denn der Satz, dass, wenn 
A,..D in einem Kreise liegen, A..D=0, oder =180° ist, gilt ebenfalls 
auch umgekehrt. 
d. Bei dem vorhin gegebenen Beweise des umgekehrten Satzes 
des Ptolemäus wurde stillschweigend die Bedingung hinzugedacht, dass 
die vier Punkte A,..D in einer Ebene liegen. Es. ist aber sehr be- 
merkenswerth, dass diese Bedingung gar nicht zugesetzt zu werden braucht, 
sondern eine Folge der Gleichung (2) oder («) selbst ist. Denn beschreibt 
man durch A, B, G, D, was immer möglich ist, eine Kugelfläche und 
projicirt hierauf diese vier Punkte stereographisch auf eine Ebene nach 
A,,..D,, so ist nach Obigem (ABDC)=(A,B,D,G) und (ADBC)=(AD.B;Q). 
Besteht daher zwischen A,..D die Gleichung («), so wird diese auch 
durch die vier Punkte A,,..D, der Ebene erfüllt, und es müssen daher 
letztere, wie in b. gezeigt worden, in einem Kreise k, liegen. Es ist aber 
dieser Kreis die stereographische Projection des auf der Kugel durch 
A, B, U zu beschreibenden Kreises k, und da D, ein Punkt von Ä, ist, 
so muss D in k liegen; folglich u. s. w. 
Eben so kann, wenn bei vier Punkten A,..D im Raume, ABÜD stets 
als abgekürzter Ausdruck des Winkels ABG’ADU genommen wird, die 
Gleichung A..D=0, oder = 180°, wie von selbst einleuchtet, nicht 
anders bestehen, als wenn A,..D in einer Ebene und darin in einem 
Kreise liegen. 
