DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 578 
nahme erwiesen zu haben, mit Hülfe der im Vorigen für kreisverwanddte 
sphärische Figuren gefundenen Eigenschaften auf nachstehende Eigen- 
schaften der Kreisverwandtschaft im Raume schliessen. 
1) Liegen fünf Punkte A, B, €, D, E des einen Raumes r in einer 
Kugelflläche «, so lässt sich auch durch die entsprechenden fünf Punkte 
A,...E' des andern r eine Kugelfläche beschreiben, und es ent- 
spricht daher jeder Kugelfläche des einen Raums eine 
Kugelfläche im andern. 
Beweis. Man beschreibe die Kreise ABÜ und ADE, die sich, als 
zwei in « enthaltene Kreise, ausser in A noch in einem zweiten Punkte F 
dieser Fläche schneiden werden. Unter der gemachten Annahme werden 
mithin auch A’, B', @, F' und A’, D', E', F' in Kreisen liegen. Be- 
schreibt man daher durch A', B\, €, D' eine Kugelfläche, so liegt in 
dieser auch F', nämlich als Punkt des Kreises A'B’C'; in derselben 
Fläche liegt folglich auch der Kreis AD’F', mithin auch der Punkt E', 
als ein Punkt des letztern Kreises. 
2) Da liiernach der durch irgend vier Punkte in r zu beschreiben- 
den Kugelfläche die durch die entsprechenden vier Punkte in r be- 
stimmte Kugelfläche nach dem Gesetze der Kreisverwandtschaft ent- 
spricht, so ist nach $. 27. jedes zwischen vier Punkten des einen Raums 
stattfindende D.verhältniss dem von den entsprechenden vier im andern 
Raume gebildeten gleich. Und dasselbe gilt auch von D.winkeln , wenn 
diese in derselben Bedeutung wie auf Kugelflächen (ebds.) genommen 
werden; d.h. je zweien sich in zwei Punkten schneidenden Kreisen des 
Raumes r entsprechen in r zwei Kreise, welche sich in zwei Punkten 
unter denselben Winkeln wie erstere schneiden. 
3) Wenn A, B, G, also auch, wenigstens im Allgemeinen, A', B', € 
einander unendlich nahe liegen, so sind die Dreiecke ABC und ABC 
einander ähnlich, da sie als Elemente zweier kreisverwandten Kugel- 
flächen angesehen werden können ($. 27.). Mithin sind auch je zwei 
entsprechende nach allen Dimensionen unendlich kleine Tetraeder ein- 
ander ähnlich, indem die vier das eine begrenzenden Dreiecke den ent- 
sprechenden vier Dreiecken des andern ähnlich sind. Ueberhaupt also 
sind je zwei kreisverwandte räumliche Figuren, ebenso wie ebene und 
sphärische, in ıhren kleinsten Theilen einander ähnlich. 
4) Hieraus folgt noch, dass die Winkel, unter denen sich in dem 
einen Raume zwei Kreise, — wenn auch nur in einem Punkte —, oder 
