DIE TuEORIE DER KrEISVERWANDTSCHAFT. 575 
Dass nun das auf solche Weise erhaltene System A’, B', €, ... dem 
gegebenen A, B, @,... in der That kreisverwandt ist, lässt sich auf nach- 
stehende Weise darthun. — In Folge der Construction sind die Dreiecke 
NBA,NGCB, ND@C, N AD’ resp. den Dreiecken MAB, MBG, MCD, MDA 
ähnlich. Hieraus fliesst eben so, wie in $. 10. d., die Gleichheit der D.ver- 
hältnisse (ABCD) und (AB CD), d.i. die Gleichheit je zweier D.verhält- 
nisse zwischen entsprechenden Punkten. Liegen daher die Punkte 
A, B,@G,D in dieser Folge in einem Kreise, und ist mithin 
(ABDÜO)+(ADBÜ)=1 (8. 26. «a.), 
so besteht dieselbe Gleichung auch zwischen A’, B', @, D’, woraus wir 
schliessen ($. 26. d.), dass, wie es die Kreisverwandtschaft erfordert, 
auch letztere vier Punkte in der genannten Folge in einem Kreise ent- 
halten sind. 
S. 35. Zusätze. a. Wie man sieht, ist hierdurch zugleich die 
Realität der Kreisverwandtschaft im Raume bewiesen ($. 32.), sowie 
auch der den Sätzen in 8. 26. c. und 8. 27. analoge Satz, dass die 
Kreisverwandtschaft im Raume durch die Gleichheit en!- 
sprechender D.verhältnisse definirt werden kann. 
Da ferner bei zwei Systemen, deren jedes aus vier nicht in einer 
Ebene liegenden Punkten besteht, durch die vier Punkie eines jeden 
sich eine Kugelfläche beschreiben lässt, und aus der Gleichheit ent- 
sprechender D.winkel in beiden Systemen auf die Kreisverwandtschaft 
(8. 27.) und damit auf die Gleichheit der D.verhältnisse beider Systeme 
geschlossen werden kann, so muss die im Früheren für ebene und 
sphärische Figuren. erwiesene Definition der Kreisverwandt- 
schaft durch Gleichheit entsprechender D.winkel auch 
für räumliche Figuren Geltung haben. 
b. Bei der im vor. 8. ausgeführten Construction bleiben folgende 
Stücke des Systems in r der Willkühr überlassen: I. der Ort von 4‘; 
II. die durch NA’ zu legende Ebene, in welcher B' enthalten sein soll; 
III. die Seite von N A’ in dieser Ebene, auf welcher B', und IV. die Seite 
dieser Ebene selbst, auf welcher @ liegen soll. Nachdem man aber die 
Wahl über diese vier Stücke getroffen hat, ist das System in r voll- 
kommen bestimmt. Denn mit den drei ersten Stücken und dem Winkel 
AMB, welchem der Winkel ANB’ gleich ist, ist die Richtung N'B' be- 
stimmt, und mit dieser Richtung ist es der Ort. von B’ durch die Pro- 
