DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. j 579 
b. Sind nicht zugleich letztere zwei Stücke, sondern bloss die drei 
Punkte M', N’, A’ und die Kugelfläche s’ gegeben, so lassen sich damit 
ähnlicherweise, wie in $. 35. c., vier verschiedene Systeme construiren. 
Bezeichnet man nämlich die der s entsprechende Kugelfläche MANB mit 
s, die zwei Theile, in welche die Fläche s (s‘) durch den Kreis MNA (M'N A) 
getheilt wird, mit « und # (« und /), die von s und s’ eingeschlossenen 
Räume mit y und y, die ausserhalb s und s’ befindlichen Räume mit 
ö und Ö', so kann man den Punkten in « und # entweder die Punkte in 
« und /, oder die in # und «, und dabei jedesmal den Punkten in y und d 
entweder die Punkte in y und Ö', oder die in d'und y entsprechend setzen. 
c. Zu einem gegebenen Systeme von Punkten im Raume lassen 
sich daher immer noch drei andere ihm kreisverwandte construiren, der- 
gestalt, dass erstens drei gewisse Punkte M, N, A des Systems mit den 
ihnen in jedem der drei andern Systeme entsprechenden Punkten identisch 
sind, und damit auch jeder andere Punkt des Kreises MNA, welcher 
k heisse, mit den drei ihm entsprechenden zusammenfällt, und dass 
zweitens eine gewisse durch M, N, A gehende Kugellläche s in jedem 
der drei andern Systeme sich selbst zur entsprechenden hat. Den vor- 
hin mit «, £, y, Ö bezeichneten Flächen und Räumen des gegebenen Sy- 
stems können nämlich in dem zu construirenden 
entweder ß, «, y, d, oder ß, «, d, y, oder «, P,d, y 
entsprechend gesetzt werden. 
Eine nähere mit keiner Schwierigkeit verbundene Untersuchung 
dieser drei Fälle, wobei ich von der Betrachtung in $. 31. ausging, hat 
mich zu nachstehenden Resultaten geführt. 
Das gegenseitige Entsprechen der Punkte ist in jedem der drei Fälle 
ein involutorisches. Die zwei Systeme haben daher stets einen gemein- 
schaftlichen C.punkt (vergl. $. 31. 5)). Bezeichnen wir diesen mit O 
und einen beliebigen Punkt des Kreises k mit E, so ist in jedem der 
drei Fälle für je zwei einander entsprechende Punkte X und X 
OX.0X = 0E*. 
Im ersten Falle ist O die Spitze des Kegels, welcher die Kugel s 
im Kreise k berührt; X und X liegen mit O in einer Geraden und auf 
einerlei Seite von O. 
Im zweiten Falle ist O der Mittelpunkt des Kreises k, und der 
Winkel XOX' wird von der Ebene dieses Kreises rechtwinklig halbirt. 
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