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Im dritten Falle ist O der Mittelpunkt der Kugel s; X und X’ aber lie- 
gen, wie im ersten, mit O in einer Geraden und auf einerlei Seite von O. 
d. Zwei kreisverwandte Systeme A,B,G,... und A, B\, C.,... 
im Raume können immer in eine solche Lage gegen einander gebracht 
werden, dass erstens die G.punkte beider in einem Punkte O zusammen- 
fallen, und somit die Producte OA.O0A', OB.OB', 0G.0C', etc. von 
gleicher Grösse sind, die man —=c* setze; und dass zweitens von zwei 
Paaren entsprechender Punkte A und A’, B und B’ die zwei Punkte eines 
jeden mit O in einer Geraden und darin auf einerlei Seite von O liegen. 
Alsdann werden die zwei Punkte aller übrigen Paare Cund €, DundD), etc. 
entweder dieselbe Lage gegen O, wie die jener zwei erstern, haben, oder 
es werden alle die Winkel GOC', DOD', etc. von der Ebene OAA'BB' 
rechtwinklig halbirt werden. 
Im erstern dieser zwei Fälle entspricht jeder Punkt der um O als 
Mittelpunkt mit c als Halbmesser beschriebenen Kugelfläche, und kein 
anderer, sich selbst. Nächstdem entspricht ausser dieser Kugelfläche 
noch jede andere sie rechtwinklig schneidende Kugelfläche, und keine 
andere, sich selbst. — Im letztern Falle sind es die Punkte des um O 
mit c in der Ebene OAB zu beschreibenden Kreises, so wie die durch 
diesen Kreis zu legenden Kugelflächen, welche sich selbst entsprechen. 
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Von den aus der Kreisverwandtschaft entspringenden Aufgaben. 
$. 39. Der Hauptnutzen, den die Lehre von den Verwandtschaften 
der Figuren gewährt, besteht unstreitig darin, dass, wenn zwei Systeme 
von Punkten, als in einer gewissen Verwandtschaft zu einander stehend, 
bewiesen werden sollen, es nicht nöthig ist, für jedes Stück des einen 
Systems, welches eben dieser Verwandtschaft willen dem entsprechen- 
den Stücke des andern Systems gleich sein muss, diese Gleichheit be- 
sonders darzuthun, sondern dass immer aus einer viel geringern Anzahl 
v solcher Gleichheiten auf die Gleichheit je zweier der übrigen einander 
entsprechenden Stücke geschlossen werden kann, und dass daher zu Folge 
jeder Verwandtschaft bei einem Systeme von n Punkten aus irgend » 
von einander unabhängigen Stücken, welche von einer durch die jedes- 
malige Verwandtschaft bedingten Beschaffenheit sind, alle übrigen Stücke 
von derselben Beschaffenheit gefunden werden können, — indem man 
nämlich ein zweiles System von n Punkten construirt, in welchem die 
