DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 581 
v Stücke, welche den » gegebenen entsprechen, von gleicher Grösse 
mit den gegebenen sind. — Dabei ist v» eine von der Zahl n, von 
der Art der Verwandtschaft und von dem Umstande, ob das System in 
einer Geraden, oder in einer Ebene, oder im Raume enthalten ist, ab- 
hängige Zahl. 
Aus jeder Verwandtschaft entspringt demnach eine besondere Classe 
geometrischer Aufgaben. Im zweiten Abschnitte meines «barycentrischen 
Calculs» habe ich die Glassen von Aufgaben, welche aus den fünf dort 
behandelten Verwandtschaftsarten hervorgehen, einzeln aufgeführt. Dass 
nun auch die Kreisverwandtschaft zu einer besondern Classe von Auf- 
gaben hinleitet, dies folgt im Betreff ebener Figuren sogleich aus dem 
Satze ($.19.), dass, wenn zu einem Systeme von n Punkten A,B,G,D,E,... 
in einer Ebene ein ihm kreisverwandtes A‘, B',... construirt werden soll, 
die drei Punkte A’, B', € willkührlich angenommen werden können, und 
dass es hinreicht, wenn für jeden der n—3 übrigen Punkte D', E',... zwei 
D.winkel, für D’ die D.winkel ABCD und AUBD, 
für E’ die D.winkel ABCE und AUBE, 
u. s.w. gegeben sind. Hat man aber mit diesen 2”—6 D.winkeln das 
kreisverwandte System construirt, so hat man damit zugleich alle übrigen 
D.winkel und alle D.verhältnisse des ursprünglichen Systems gefunden, 
indem diese Grössen in beiden Systemen gleiche Werthe haben. Wenn 
man daher D.winkel und D.verhältnisse, als Grössen, deren jede durch 
vier Punkte bestimmt wird, unter dem gemeinsamen Namen Quater- 
nionen begreift, so müssen von jenen 2n—6 D.winkeln alle übrigen 
Quaternionen des Systems als Functionen darstellbar sein. Man wird 
folglich, indem man irgend 2”n— 5 Quaternionen des Systems als Functio- 
nen jener 2n—6 D.winkel ausdrückt und aus diesen 2”— 5 Gleichungen 
letztere D.winkel eliminirt, zwischen den 2" — 5 Quaternionen wenigstens 
Eine Gleichung erhalten, und zwar nur Eine, wenn je 2n— 6 derselben 
von einander unabhängig sind. 
Bei einemSysteme von nPunkten in einerEbene können 
demnach, wenn von den durch sie gebildeten Quaternionen 
irgend 2n—6 von einander unabhängige gegeben sind, alle 
übrigen Quaternionen gefunden werden. 
$. 40. Ein anderer Beweis dieses Satzes, der uns zugleich zu der 
möglich einfachsten Lösung der aus dem Satze entspringendenAufgaben 
führen wird, ist folgender. 
