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Man denke sich zu dem Systeme der n Punkte A, B,...L,M ein 
ihm kreisverwandtes A', B',... L’, M' hinzu und nehme an, dass einer 
der n Punkte des letztern — es sei M'— unendlich entfernt liege. Jeder 
Quaternion des erstern Systems, welche den Punkt M enthält, wird als- 
dann im letztern eine ihr gleiche Ternion, d. i. eine schon durch drei 
Punkte bestimmte Grösse, entsprechen, indem z. B. der D.winkel MEBA 
— (MAB=BAMC—=ABENM = dem einfachen Winkel A'B’C', und das 
D.verhältniss (MGBA) = (CMAB) =etc. = dem einfachen Verhältnisse 
AB: PC wird. Eben so ist umgekehrt jede Ternion von einer dieser 
beiden Formen im zweiten Systeme einer den Punkt M enthaltenden 
Quaternion im ersten gleich. Die Aufgabe: bei einem ebenen Systeme 
von n Punkten A, B,.. L, M aus x Quaternionen desselben alle übrigen 
zu finden, wird somit darauf zurückgebracht: bei einem ebenen Systeme 
von n—1A Punkten A’, B',...L' aus & Stücken desselben, welche theils 
Ternionen, theils Qualernionen und somit Functionen von Ternionen 
sind, alle übrigen Ternionen des Systems zu finden. 
Bekanntlich aber können bei einem ebenen Systeme von n—1 
Punkten aus 2 (na —1)—4 von einander unabhängigen Verhältnissen zwi- 
schen den gegenseitigen Abständen der Punkte, oder von solchen Ver- 
hältnissen abhängigen Grössen, also aus 2”—6 Stücken, welche in ihrer 
einfachsten Form Ternionen von oben bemerkter Beschaffenheit sind, 
alle übrigen Stücke derselben Art gefunden werden. Es ist dieses näm- 
lich der Satz, welcher der aus der Aehnlichkeit ebener Figuren ent- 
springenden Glasse von Aufgaben zu Grunde liegt (Baryc. Calc. S. 189). 
Mithin ist e=2n—6, und es wird daher auch bei einem ebenen Systeme 
von n Punkten, von 2n—6 von einander unabhängigen Quaternionen des- 
selben jede (2n—5)te Quaternion abhängig sein. Die Gleichung aber, 
welche diese Abhängigkeit ausdrückt, wird einerlei sein mit derjenigen, 
welche zwischen den entsprechenden Stücken des kreisverwandten Sy- 
stems von n—1 endlich gelegenen Punkten statt hat und nach den be- 
kannten Vorschriften der Polygonometrie gefunden wird. 
Diese Reduction der durch die Kreisverwandtschaft begründeten 
Aufgaben auf solche, die aus der Achnlichkeit der Figuren entspringen, 
erhellet übrigens auch daraus, dass alle dem Systeme A, B,...M kreis- 
verwandte und daher auch einander kreisverwandte Systeme A', B',...M' 
durch die Bedingung, dass bei allen der Punkt M’ unendlich entfernt 
liegen soll, einander ähnlich werden (8. 5.). 
