586 A. F.:Mößıus, 
Zusatz. Hinsichtlich der letztern Formel verdient noch bemerkt 
zu werden, dass sie zugleich die zwischen den gegenseitigen Abständen 
von fünf Punkten im Allgemeinen geltende Bedingung darstellt, unter 
der, wenn vier der fünf Punkte in einer Ebene liegen, auch der fünfte 
in dieser enthalten ist. 
In der That, liegen A, B, G, D in einer Ebene, und E ausserhalb 
derselben, so bestimme man ihr einen Punkt E, dergestalt, dass 
(BUDE,)=(BCDE)=1:ya und 
(CDE,A) =(CDEA) =1:yb, dass mithin 
(4) DE :EB=DE:EB und 
(2) DE,:EA=DE:EA. 
Dieses ist immer, und zwar auf doppelte Weise, möglich. Denn 
wegen (1) und (2) ist E, ein Punkt des durch die Doppelproportion 
AX:BX:DX=AE:BE:DE 
bestimmten durch # gehenden und von der Ebene ABD rechtwinklig 
halbirten Kreises ($. 22. d.); und weil E, zugleich in dieser Ebene liegen 
soll, so ist E, einer der beiden Endpunkte des Durchmessers, in wel- 
chem jener Kreis von der Ebene halbirt wird. 
Haben nun die Buchstaben a, b, c, d, e die ihnen im Obigen durch die 
gegenseitigen Abstände der Punkte A, B,G, D, E zugewiesene Bedeutung, 
und bezeichnet man die auf gleiche Weise von den Punkten A, B, G, 
D, E, abhängigen Zahlen mit a,, b,, c,, d 
„ee 
,, so ist wegen (A) und (2) 
(3) zart =b, McHund überdies 1 —e 
Weil aber A, B, GC, D, E, in einer Ebene liegen, so besteht jetzt 
zwischen a,, b,, c,, d,, e, die vorhin zwischen a, b, c, d, e erhaltene 
Gleichung (B). Soll daher jene Relation zwischen a, b,..e selbst auch 
gegenwärtig noch statt haben, so muss wegen (3) noch d,—=d, also 
(E, ABC) = (EABG) und daher EC:E,C=EA:E,A 
sein. Hieraus-aber folgt in Verbindung mit den Proportionen (1) und (2), 
wofür wir auch EB:EB=ED:ED=EA:E,A 
schreiben können, dass in einer gewissen durch B, D, A gehenden 
Kugelfläche, deren Mittelpunkt in EE, fällt, auch C liegen muss, und dass 
mithin, wenn A, B, €, D in einer Ebene sind, E aber ausserhalb der- 
selben liegt, die Gleichung (b) nur in dem speciellen Falle noch be- 
steht, wenn jene vier Punkte in einem Kreise, als dem Durchschnitte 
der Kugelfläche mit der Ebene, enthalten sind. 
