588 A. F. Mösıvs, 
Sind A, B, €,.. Punkte einer Geraden, so ist das Verhältniss AB: BC 
positiv oder negativ, jenachdem B zwischen oder ausserhalb A und € 
liegt, folglich das aus den zwei Verhältnissen AB:BC und CD:DA zu- 
sammengesetzte D.verhältniss (ABCD) dann und nur dann negativ, wenn 
von den zwei Punkten B und D der eine zwischen, der andere ausser- 
halb A und € liegt, also wenn von den zwei Winkeln ABC und ADC 
der eine =180°, der andere =® ist, mithin wenn der D.winkel ABCD 
—=180ist; dagegen wird das D.verhältniss positiv sein, wenn der gleich- 
lautende D.winkel =0 ist. Wegen der Gleichheit entsprechender D.winkel 
in kreisverwandten Figuren wird folglich nach derselben Regel auch dann, 
wenn A,..D in einem Kreise liegen, das D.verhältniss (ABCD) mit dem 
einen oder andern Zeichen zu nehmen sein, also (8. 1%. a.) mit dem ne- 
gativen oder positiven, jenachdem sich die Sehnen AC und BD innerhalb 
oder ausserhalb des Kreises schneiden, oder — wie man sich auch aus- 
drücken könnte — jenachdem die Bögen AC und BD, keiner von ihnen 
grösser als der Halbkreis genommen, in einander greifen, oder nicht. 
$. 4%. Um das Vorstehende durch ein Beispiel zu erläutern, wird es 
hinreichen, die einfachste unter den hierher gehörigen Aufgaben zu wählen 
und zu zeigen, wie bei vier in einem Kreise begriffenen Punkten A,..D, 
und wo daher n—3==1 ist, aus einem der beiden D.verhältnisse 
(ABCD)=a und (ACBD)=b 
das andere gefunden werden kann. 
Angenommen, dass A,..D in einer Geraden liegen, und darin D 
unendlich entfernt ist, wird 
a=(AB:BC) (CD:DAA)=— Ab:BC=BA:BC, 
wegen CD:DA= —I, und eben so 
b=—AC:CB=AC:BG; 
folglich a+b=1. wegen BA+HACG=BE. 
Mithin ist auch dann, wenn die vier Punkte m einer Geraden und 
alle endlich entfernt liegen, so wie auch dann, wenn sie in einem Kreise 
enthalten sind: (ABCD) + (AGBD)=1 (vergl. $.26.); 
und diese Gleichung gilt bei gehöriger Berücksichtigung der Zeichen 
allgemein, für jede Aufeinanderfolge der vier Punkte. Ist z.B. ABDC 
diese Folge, so greifen weder AG und BD, noch AB und CD in einander, 
und es sind daher a und b positiv. Dagegen findet sich bei der Folge ABCD 
a negativ und 5 positiv. 
