DIE THEORIE DER KREISVERWANDTSCHAFT. 589 
Zusatz. In jeder Gleichung zwischen D.verhältnissen, deren Punkte 
in einem Kreise liegen, so wie in jeder andern mit einer solchen identi- 
schen Gleichung, z.B. in der nach A, B, G symmetrisch geordneten 
AD.BÜ+BD.CA+CD.AB=0, 
kann man die Zeichen der einzelnen Glieder auch dadurch ermitteln, 
dass man zuerst die Zeichen der einzelnen Linien nach folgender Regel 
bestimmt. Man wähle beliebigwo im Kreise einen Punkt M und nehme jede 
der Sehnen AD, BC, etc. negativ oder positiv, jenachdem man, im Kreise 
selbst stets nach einem und demselben Sinne fortgehend, um von A bis D, 
von B bis Ü, etc. zu gelangen, durch M gehen muss, oder nicht. — Die 
Richtigkeit dieser Vorschrift wird sogleich einleuchten, wenn man in 
einer kreisverwandten geradlinigen Figur den Punkt M unendlich ent- 
fernt annimmt. 
$. 45. Sowie in Folge der Theorie der Kreisverwanditschaft ebener 
Figuren jede Relation zwischen D.verhältnissen, die von Punkten einer 
Geraden gebildet werden, auch für ein System von Punkten eines 
Kreises gilt, so muss, den Sätzen gemäss, die in $. 32. u. folg. in 
Bezug auf die Kreisverwandtschaft im Raume entwickelt worden sind, 
auch jede Gleichung zwischen Quaternionen einer ebenen Figur unver- 
ändert von der Ebene auf eine Kugelfläche übergetragen werden können, 
wie auch schon aus der Theorie der stereographischen Projection 
(8. 2%. und 25.) hervorgeht. 
Bei einem Systeme von n Punkten einer Kugelfläche 
wird demnach gleichfalls ($. 39.) durch 2n—6 von einander un- 
abhängige Quaternionen jede der übrigen bestimmt; nur 
dass hierbei unter ABCD der von den zwei Kreisen ABC und ADG 
gebildete Winkel zu verstehen ist. 
Bei vier Punkten einer Kugelfläche, d. i. bei vier im Raume beliebig 
liegenden Punkten A,..D, werden daher zwischen 
den Producten BC.AD, CA.BD, AB.CD und 
den Winkeln BAG’BDC, GBA'CDA, ACB’ADB 
Jieselben Relationen, wie zwischen den Seiten und den gegenüber- 
liegenden Winkeln eines ebenen Dreiecks, statt haben. 
Desgleichen werden die zwei in $. #2. für ein ebenes Fünfeck ent- 
wickelten Formeln (A) und (B) auch bei einem Systeme von fünf Punkten 
anf einer Kugelfläche bestehen. Und da die Formel (B) auch als die 
