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zwischen den gegenseitigen Abständen der fünf Punkte zu erfüllende 
Bedingung angesehen werden konnte, unter welcher, wenn vier der fünf 
Punkte in einer Ebene liegen, anch der fünfte in ihr begriffen ist, durch 
vier Punkte aber stet seine Kugelfläche beschrieben werden kann, so wird 
— den Gesetzen der Kreisverwandtschaft gemäss — dieselbe Formel (b) 
auch die Bedingung ausdrücken, unter welcher die fünf Punkte in einer 
Kugelfläche enthalten sınd; wobei ich nur noch bemerke, dass der dort 
gedachte specielle Fall, in welchem dessen ungeachtet, dass der eine 
Punkt nicht in der Ebene der vier übrigen liegt, die Gleichung (B) den- 
noch gültig ist, hier keine Ausnahme begründet, indem alsdann die vier 
Punkte in einem Kreise liegen müssen, durch solche vier Punkte aber 
und jeden fünften sich immer eine Kugelfläche beschreiben lässt. 
Ss. 46. Was noch die aus der Kreisverwandtschaft räumlicher Fi- 
guren hervorgehenden Aufgaben und insonderheit die Anzahl der Qua- 
ternionen anlangt, welche bei einem Systeme von n Punkten im Raume 
gegeben sein müssen, um alle übrigen Quaternionen finden zu können, 
so ergiebt sich diese Zahl auf eine den in $$. 39. und %0. bei ebenen 
Figuren angestellten Betrachtungen ganz analoge Weise. 
Soll nämlich ein dem Systeme von n Punkten M, N, A,B, ,... 
kreisverwandtes construirt werden, so geschieht dieses nach 8. 36. 
dadurch, dass man erstens an die n—?2 Kreise MAN, MBN, MCN,... 
in M geradlinige Tangenten a, b, e,... legt und ein diesem Liniensystem 
gleiches System von Geraden «', b‘, e‘,... construirt, welche sich in dem 
willkührlichen Punkte M’ schneiden. Hierbei kann «' beliebig durch M' 
gelegt werden; b' wird durch den Winkel a*b’= a‘b, und jede der n—4 
übrigen Geraden c', d‘,... durch zwei Winkel, z.B. ec durch «ac = a‘c 
und b’c=b‘c, bestimmt. Die Anzahl aller Winkel, welche somit 
dem ursprünglichen Systeme entnommen werden, ist =1+2(n—#), 
und jeder dieser Winkel ist eine Quaternion, z.B. a«b=MAN'MBN 
= MANB. 
Nach willkührlicher Annahme von N’ lassen sich nunmehr die 
n—2 Kreise MAN‘, M'BN', MÜUN‘, etc. beschreiben. In dem ersten 
derselben ist A’ein beliebiger Punkt; jeder der übrigen Punkte B', €',... 
aber wird in seinem Kreise durch ein D.verhältniss bestimmt, z.B. B' 
durch (MAN B)=(MANB). Die Anzahl der hierzu erforderlichen D.ver- 
hältnisse ist demnach =n—3. ' 
