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Quaternionen ableiten. — Die Kreisverwandischaft wird auf solche Weise 
eine sehr ergiebige Quelle neuer Sätze, deren Beschaffenheit aus den 
nachfolgenden Beispielen genüglich erhellen wird. 
A) Daraus, dass die Summe der drei Winkel eines Dreiecks ABC 
+BCA+CAB=180° ist, folgt durch Zusetzung von D: 
ABCD+BCAD+CABD=180° ($. 13.), 
wofür wir auch schreiben können : 
BCED'’BAD+CAD'CBD+ABD'ACD =180°. 
Also auch in einem von drei Kreisbögen gebildeten Dreiecke ABC 
ist, wenn sich die drei Kreise noch ın einem Punkte D schneiden, die Summe 
der drei Winkel zweien Rechten gleich. 
Die analogen Sätze für cyklische in einer Ebene oder auf einer 
Kugelfläche construirte Vierecke, Fünfecke u. s. w. folgen hieraus 
von selbst. 
2) Aus der trigonometrischen Grundformel CA:AB=sin ABC:sin BCA 
Niesst (CABD) = sin ABCD: sin BCAD (8. 16.). 
3) Ist BAC=1809, so ist (AB: BG) + (AC:CB)—= —1. Ist daher 
BACD=180°, d.h. liegen die vier Punkte B,..D in der genannten Folge 
in einem Kreise, so hat man, weil für einen unendlich entfernten Punkt D 
AD:DE=AD:DB= —1 ist, 
(ABCD)+(ACBD)=1 (vergl. SS. 4%. und 26.). 
4) Ist BAC=90), so ist (AB:BG)’+(AC:CB)’=1. Aus BACD=90° 
folgt daher (ABCDY’+(ACBD)’—=1, d. i. 
AB?. CD’+-AC?. BD’=AD?. BC*. 
Wenn demnach bei einem ebenen Viereck die Summe zweier gegen- 
überliegenden Winkel einen Rechten beträgt, oder allgemeiner: wenn bei 
einem Viereck BACD, mag es eben sein, oder nicht, die damit bestimmten 
Kreise BAG, BDC, und folglich auch die Kreise AGD, ABD, sich recht- 
winklig schneiden, so ist die Summe der Producte aus den Quadraten der 
gegenüberliegenden Seiten dem Producte aus den Quadraten der Diagonalen 
gleich; ein neuer dem ptolemäischen ganz analoger Satz, der eben so 
aus dem pythagoräischen, wie der ptolemäische aus dem Satze fliesst, 
dass in einem Dreiecke, welches einen Winkel von 180° hat, die Summe 
der ihn bildenden Seiten der dritten Seite gleich ist. 
