SLM iza 
2) data una forma quadratica, a coefficenti costanti, di tre 
soluzioni particolari della (1), si può esprimere razionalmente, 
per mezzo suo, delle sue derivate, dei coefficenti della (1) e loro 
derivate, una funzione lineare omogenea, a coefficenti costanti, 
di quelle tre soluzioni. 
Derivando due volte 1’ eguaglianza : 
F(Y1, Ya, Y3) = 141 + d22 Ya + 433 Y23 + 2010/12 + 2013/1Y/3 + 2a23Y2Y3="2 (18) 
nella quale 71 y» 3 significano tre soluzioni particolari della (1), e ponendo: 
Ajga + doo + d99 + 2019 tini 2433 Coi 20493 = 16) 
dî di 19 
VAT Ya II 
si ottiene : 
2f (41 , Ya, Y'3) +Xw= 3 + pz nia 2q7 = 4 5 (20) 
Osservando ora che si ha: 
ali (4/1, Yo Y3) = Xw — 2pf (41, Y2, Y3) — IE 
la (20), derivata, darà: i 
IXu' + (X'+2pX)u = Z', + 2pZ, + 2q3' = 2g (21) 
(4X' — pX)u' + (X" + 2pX + (2p'—3)X)u=Z3 —68X? (22) 
DO 
| 5XU—3pXlw (ptep—3g) x ]u+[ xe PRUSS (Ap —7)X+@p'—3/--pa)X |v= 
— 73 — 206XX' + 26pX? . (23) 
Dalle tre equazioni ,ora ottenute (21) (22) (23), e dal loro confronto colle (10) 
(11) (12), risultano immediatamente i teoremi enunciati. 
Osservazioni 1). Se Ia somma dei coefficenti della forma (18) è eguale a zero, 
l'equazione del quint’ ordine, da essa forma soddisfatta, è omogenea. 
2) Quando la « sia identicamente nulla, cioè quando i coefficenti della (18) 
soddisfacciano alle: 
dii + dg, + 013 = Ugg + dg + dag = 031 + 03, + a33 = 0 (24) 
la (21) si riduce alla: 
Z3,=0, 
che è l’equazione differenziale lineare omogenea del terz’ ordine soddisfatta dal pro- 
dotto di due soluzioni particolari della : 
g+pa+gqn=0. (25) 
Ciò si spiega osservando che, quando sieno soddisfatte le (24), la (18) si può 
mettere nella forma: 
[Av +B@—%) || Al-w+B%-w]. 
vale a dire ch’essa, in questo caso particolare, è appunto il prodotto di due solu- 
zioni particolari della (25). 


