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Di quì risulta che, formando m—2 derivate della (9), si otterrà un’ equazione 
che conterrà tutte le U corrispondenti ai secondi indici minori od eguali ad m_1, 
il numero delle quali è pedi. Dal sistema delle » equazioni, costi- 
tuito dalla (9) e dalle sue &h—1 derivate, si potranno dunque, in generale, ricavare 
UE UN es Unioeelei quali spimsiene alla Umm, che è eguale a 3, 
sono i coefficienti dell’ equazione algebrica di grado n che ha per radici le y1%2 .--Ym5 
ed è chiaro ch’ esse risulteranno funzioni razionali di z, p, g, X e loro derivate. 
Formando poi la h®® derivata della (9) si avrà un sistema di h+1 equazioni 
dalle quali si potranno eliminare le ® U, e risulterà un’ equazione differenziale li- 
s pag mMm(mMm+3 
neare, non omogenea, rispetto a 2, dell’ ordine pelo 20229 
II 
4. Consideriamo ora, in particolare, il caso di m=2. 
Posto : 
3" + pz + 2qz= Za 
VAS + 2pZg + 2q3' = Lg 
y+ y= Ugo =, 
si ha: 
e dalla (6): 
BXw' + (X' + 2pX)u= Zy (10) 
Questa, derivata due volte, dà: 
(AR — pX) wu + (X' + 2pX'+ (2p' — 39) X)u= 7a — 6X° (11) 
[px'3px-pî30)X | Ut | xr+2px+ ip —rgx+ @p'—34+pX | = 
— Dl", — 20XX' + 2pX° (12) 
Dalle (10) (11) si ricava: 
u=4 [3x2 + x - 40) &— 18X° | (19) 
nella quale : i 
A=3XX"—4X"2—pXX'+(6p'+2p°—9g9)X° (14) 
Dunque, tranne il caso che i coefficenti della (1) soddisfacciano alla : 
A= 0 (15) 
la (13) determinerà la «, razionalmente, per mezzo di z, p, q; X e d’ alcune derivate 
di queste funzioni; e le due soluzioni della (1), il cui prodotto è eguale a z, sa- 
ranno le radici dell’ equazione : 
t—-ut+-z=0. (16) 
Eliminando « ed «' dalle (10) (11) (12) si ottiene 1’ equazione differenziale li- 
neare, non omogenea, del quint’ ordine, soddisfatta dal prodotto di due soluzioni 
particolari della (1) : 
3X x' +2pX Lg 
4X' —pX xX"+2pX' +(2p'—39)X Zia —6X2 
5X'—3pX'+(p'+p°—39)X Xl+2pX"+(4p'—79)X'+ (2p"—3g'+pq)X Z'a—20XX'4-2pX® 
—0 (17) 
