SAI prese 
si ha 5 mo m 
r ETA NINA N 4177 
U mins “i Y pt (4) tr di Y Ue (n) 
ossia, per lo (1): 
m Mm Mm Mm 
Una, = XY Uma. (M)+XX Una sn-1 1) — PX nUma1 sn_1,1-1 (h) Xu m_1,n-1,0--1 (1) (2) 
Se ora nella Um_1,n, (A) si considerano i termini che contengono le derivate 
prime di { delle y, scelte fra /+1 individuate, è chiaro che nella somma dei pro- 
dotti ,Un_1m(M) si troveranno +1 termini che conterranno le derivate prime di 
quelle +1 y, e che, in conseguenza, quella somma è eguale al prodotto della Um n+1 
per +1. Con analoghi ragionamenti si troverà: 
m 
DI Yn URenne nni (h) —i GURS 
m 
di Yn Vita (1) == (n_l+1) VWraso dita 
In quanto alla somma che si trova moltiplicata per X, nel secondo membro 
della (2), si osservi che il prodotto di n—/ y, individuate, per le derivate prime 
di altre /—1, pure individuate, si trova in tutte le U,_1,n-1,-1(h) che corrispon- 
dono ai valori di A diversi dagli indici di quelle n—1 y, i quali sono m—-n+1, e 
che, in conseguenza, quella somma è eguale al prodotto della U,,n_1, 1 per m_n+1. 
Si ha quindi dalla (2): 
Ual == (+1) Wrrgat oi DU a (n_l+ 1) QU nta + (m_n+1) I a (3) 
per la quale è manifesto che le derivate prime delle U si esprimono linearmente 
colle U stesse, il cui numero è Doni , 
2. Indicando con S,,, la somma dei prodotti di m—! delle y per le derivate prime 
dell’altre si ha: 
ml = Wnonsl , Sm,0 il) mm, 0==3 4 Sm1 = US mm 3 (4) 
e dalla (3) si ricava: 
Ser (+ 1) Sai Con IPSm,1 = (m_l+1) GSm, Vice Ra (9) 
e, in particolare : . 
Sher uo MPSm,m Sv OST San KU i —0 (6) 
Per mezzo delle (3) (4) (5) si ricavano per Sn, espressioni della forma : 
Om, = Zn,l GP? VT, (7) 
in cui Zn, significa una funzione lineare omogenea rispetto a z, 2°, ... 30%, i coeffi- 
centi della quale sono funzioni razionali di p, q e d’alcune loro derivate; e V,., 
siguifica una funzione lineare omogenea rispetto ad alcune delle U, coi secondi indici 
minori od eguali ad m—1, i coefficienti della quale, indipendenti da z, sono fun- 
zioni razionali di p, g, X e di alcune loro derivate, ed hanno la proprietà di annullarsi 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — Meuorie — Von. XIV. 6 
