Di alcune proprietà dell'equazione differenziale lineare, non omogenea, 
del second’ ordine. 
Memoria del prof. DAVIDE BESSO 
approvata per la stampa negli Atti dell’ Accademia 
nella seduta del 7 maggio 1882. 
Se un’equazione differenziale lineare, non omogenea, dell’ ordine n, viene divisa 
pel termine indipendente dalla funzione incognita, e poi derivata, ne risulta un’ equa- 
zione differenziale lineare omogenea, dell’ordine n+1, la quale è soddisfatta da tutte 
le soluzioni della prima. Da quest’ osservazione, e da una proprietà dell’equazione 
differenziale lineare omogenea, risulta che le derivate logaritmiche di m soluzioni 
particolari d’un’ equazione differenziale lineare, non omogenea, dell'ordine n, sono le 
radici d’un’ equazione algebrica di grado m i cui coefficenti sono funzioni razionali 
di quelli della data equazione differenziale, del prodotto di quelle m soluzioni, e di 
alcune derivate di queste n+2 funzioni. 
Ma l’ equazione differenziale lineare, non omogenea, del second’ ordine, ha pure 
la proprietà che m sue soluzioni sono le radici d’un equazione algebrica di grado m, 
i coefficienti della quale sono funzioni razionali di quelli della data equazione dif- 
ferenziale, del prodotto di quelle m soluzioni, e di alcune derivate di queste quattro 
funzioni. Inoltre, il prodotto di m soluzioni particolari d’un’ equazione differenziale 
lineare, non omogenea, del second’ ordine, soddisfa ad un’ equazione differenziale li- 
m(m+3) 
2 
razionali di quelli della data equazione del second’ ordine e di alcune loro derivate. 
Queste proposizioni sono dimostrate nel presente scritto, nel quale sono pure 
esposte alcune proprietà dell’equazione differenziale lineare, non omogenea, del se- 
cond’ ordine relative ad una forma quadratica, a coefficenti costanti, di tre soluzioni 
particolari. 
neare, non omogenea, dell’ ordine , ì coefficenti della quale sono funzioni 
I 
1. Siano Y1Y2...Yn m soluzioni particolari della: 
y + py — qyu=X (1) 
e sia z il loro prodotto. 
È . (M\f(n eni 5 SIRO 
Indicando con U,,n, la somma degli (L ) ( n) prodotti, di n» fattori ciascuno, 
dei quali n—! sieno scelti fra le y1y2..-U»n ed i restanti l fra le y1%2..-%Um; € 
con U,m_1,n,:(2) la somma analoga corrispondente alle m—1 y: 
YI Y2 0 Yn-1 Ynti <Ym è 
