PIRAS 
7. Le derivate logaritmiche di n soluzioni particolari distinte 
d’un'equazione differenziale lineare omogenea del second’ ordine 
sono le radici d’un’ equazione algebrica di grado n i coefficenti 
della quale sono funzioni razionali di quelli della data equazione 
differenziale, della somma delle potenze m° di quelle n soluzioni 
e di alcune derivate di queste funzioni, purchè la costante m non 
sia un intero positivo minore di 2n—1. 
Le n equazioni che si deducono dalla (13) ponendovi successivamente : 
bk—0,=1,=2,..=n—1, 

contengono le T fino alla T,,2n_15 inoltre il determinante: 
Tm,0 RI DOLO dior 
agi a sese dint 
Tinga og oreo Tana 
è diverso da zero, come è stato dimostrato al numero precedente. Dunque questo 
sistema d’equazioni vale a determinare le A, cioè i coefficenti dell’ equazione alge- 
brica di grado n che ha per radici le #1 ta... t,, a meno che la costante m non sia 
un intero positivo minore di 2n—I; ed è chiaro che tali coefficenti, per essere fun- 
zioni razionali delle T, saranno funzioni razionali di z, p, q e d’alcune derivate di 
queste funzioni. 
8. Nell'ipotesi del teorema precedente le potenze m° di n solu- 
zioni particolari distinte d’un’ equazione differenziale lineare 
omogenea del second’ ordine sono funzioni razionali della loro 
somma, di alcune sue derivate, dei coefficenti della data equa- 
zione differenziale, di alcune loro derivate, e delle radici dell’equa- 
zione algebrica di grado n di cui ivi è parola. 
Infatti ponendo nelle (8) successivamente: k—0,=1,=2,...=n—1, si ottiene 
un sistema di n equazioni dal quale si possono ricavare le Y, cioè le potenze m° 
delle y1%y2...Y., in funzione delle t1t3....t, e delle T,,.0, Tu1y- Tun15 ed è chiaro 
che tali potenze risulteranno funzioni razionali di z, p, g, di alcune loro derivate, e 
delle tt»... t,. 
9. Suppongasi che le z, p, g, funzioni di x, sieno legate dall’ equa- 
zione differenziale, d’ordine 2n rispetto a z: 
to A see. dimen dio 
da Tre ses Ta i 
RE a e 0, (14) 
Mama Io DODO Tuono Imma 
ine i oro. Agos Tron 
in cui: 
lin0=B0 UE (9) 
(m — k) Ig == ila nia kp Tag = kq Ia 
