cioè le (4) (3). Per k=m la (9) diviene: 
RESA tt PM Tha + qm Mana 10) , 
cioè l’equazione differenziale (5). 
6. La somma delle potenze m° di n soluzioni particolari distinte 
d’un’equazione differenziale lineare omogenea del second’ordine 
soddisfa ad un'equazione differenziale non lineare dell'ordine 2n, 
i cui coefficenti sono funzioni razionali di quelli della data equa- 
zione differenziale e di alcune loro derivate, purchè la costante m 
non sia un intero positivo minore di 2n. 
Siano Y1, Ya-.-Yn n soluzioni particolari distinte della (1) e sia: 
Ya Yak + Yn = 
significando m una costante qualunque. 
Posto, come al N.° precedente: 
n Y 
yy" = Ya DI = bn 
Yi tl = Ya tal SE 000 SE VA DE = Ig (8) 
e quindi: 
z 
Io = 4, A -— ma 9 (10) 
si troverà, come allora: 
(m—k) age = RS, Cp PET Mm a) gk Tagt 5) (9) 
dalle quali risulta, come già si è osservato, che la T,,, ha la forma: 
Koz0) + Ki ze Kg). + Ka + K,3 
in cui le K significano funzioni razionali delle p, g e d’alcune loro derivate. 
Si ha in particolare: 
m(M_1)Tha=2'+p3 + mqz, 
m(m—_1) (Mm—-2)T,3 = 2" + 38pz' + [pa 2p?+(0m—2) a| z+m(qg+2pq)z, 
m(m—1)(m—2) (m—3) T,mu= 3N+ 6p2"+ | 11p° + (6m— 8) a| zii (11) 
+ [pa 7pp'+ 6p°+(14m—12)pq + (4Am—2) q' | + 
am | 5pd + 2p'q+ 6pîg + g'+3 (m_2) gÈ | 3 
Ma, per im intero e positivo, la (9) non vale a determinare la T,,,, quando sia 
k=m+1. Per k=m essa dà, come si è veduto al N.° precedente, l’ equazione 
differenziale lineare (5). 
Ora eliminando le Yi Ya...Y, dalle n+1 equazioni: 
Vit +Vat +—..+ Yahl Tak 
Yi {+1 Four) Ya tg! uv? 000 Fw Va Gp = I 
(12) 
Yi at DREI Ya far CIA VG uo ) 
DD 
ULASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MeMoRIE — Von. XIV.° 
