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4. Ogni soluzione dell’equazione differenziale (5) è il prodotto 
di m soluzioni particolari della (1). 
Indicando con v1, vg due soluzioni particolari distinte (‘) della (1), la (5) sarà sod- 
disfatta, pel teorema precedente, dalle m+-1 funzioni: 
U m - Magi U 3 UT? gt 3000 dA I È Wa" " 
fra le quali non può aver luogo alcuna relazione lineare, poichè altrimenti il rap- 
porto + sarebbe eguale ad una costante. Dunque ogni soluzione della (5) è eguale 
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alla somma dei prodotti di quelle m-+-1 funzioni per altrettante costanti, ed è quindi 
eguale al prodotto di m funzioni lineari delle w, wa, cioè al prodotto di m soluzioni 
particolari della (1). 
5. L'equazione differenziale (5) si può ottenere anche nel seguente modo: 
Siccome ogni forma binaria del grado m può essere trasformata nella somma 
delle potenze m°: di n forme binarie lineari, scegliendo n in modo che sia 2n>m+1, 
così, indicando con z una funzione intera omogenea del grado m di due soluzioni 
particolari della (1) e con y1%2-..Y, ® soluzioni particolari della stessa equazione, 
si avrà: 
Yi” ha Ya” E Vo — 2 (6) 
Ora posto: 
=, eh (7) 
Yn 
Yi ty ua Ya tal Cud 1000 ara Vita” a og (8) 
e quindi: 
VE MYytn t,=—h— pi, 9g D 
si troverà, derivando la (8): 
(im) Tri = To PED Ti (9) 
Con questa e colle: 
Ul 
Iino==4 9 ag == - (10) 
si calcoleranno successivamente le T,, 3, T,3, ecc; ed è chiaro che la T,,, risulterà 
della forma: 
Kos + K,zW)+...+ K,_15+K,z, 
in cui le K sono funzioni razionali di p,g e di alcune loro derivate. Anzi la Tm, 
differisce soltanto per un fattore costante dalla S,, definita dalle (3) (4); poichè 
posto: 
(1) Ios == Dn ’ 
si ha dalle (9) (10): 
(k+ 1) Sme => Stor sia PSma a 0] (m — k+ 1) Sai 
r 
Sm,0 = 3, Sm,1 =Z, 
(') Chiamo distinte due soluzioni particolari quando il loro quoziente non è eguale ad una 
costante, cioè quando sono distinte le derivate dei loro logaritmi. 
