Re I 
quelle m-+1y,e che, in conseguenza, questa somma è eguale al prodotto della 
Smnri por n+ 1. Similmente si proverà che la somma dei prodotti %,Sm-1,n-1(#) 
è eguale a (m—-n+ 1)Snn_1, e dalla precedente eguaglianza si conchiuderà: 
(n e 1) Deli == Sao + np Sho to (m War 1) q SAI 
È poi evidente che il quoziente: Di 
AU 
cre 
Sm,0 
è la somma dei prodotti ad n ad n delle derivate logaritmiche delle Y1%2...Ym 
2. Dalle (3) (4) risulta chiaramente che la Smn è della forma: 
Smyh = Hoz (Ma Hz (RA) + Hi z+ H,z 
in cui le H sono funzioni razionali delle p,q e di alcune loro derivate. 
Si ha in particolare : 
2 Sm2 a ii sata pz' tri Mqz 
6Smn = 3"+8 pz" +|p + 2p°+ (m—2) a| z+m(2pq+q)3 
24 Sma = 6 pz + [4 p+11p°+(6m— 8) | ln 
+|p- 7pp-6p° + (14m—12)pg+ (4m—2)d | z+ 
+m|5pg+6p4+204+d'+3Mm-2) |: 
3. Ogni funzione intera omogenea del grado m di due soluzioni 
particolari della (1) soddisfa all’equazione differenziale lineare 
omogenea dell’ordine m+l: 
Smmt PMSmm + dm mr = 0 (5) 
in cui le S sono date dalle (3) (4), 
Indicando con z una funzione intera omogenea di due soluzioni particolari 
della (1) e con y1Y2...Yn altre m soluzioni particolari della stessa equazione, si ha: 
Y1Y2 + +YmE= 3 
Quindi, ritenendo le notazioni del numero precedente e derivando l’eguaglianza : 
/ 
È Ya Yr... VE Sata , 
sì troverà: 
r 
S mm pm Sa rune q ST iù , 
la quale è un’equazione differenziale lineare omogenea, rispetto a 2, dell’ordine m+ 1, 
i cui coefficenti sono funzioni razionali di quelli della (1) e d’alcune loro derivate. 
Per mn=2, m=3, m==4 la (5) diviene rispettivamente: 
24 8pz' + (p'+ 2p° + 4g)z' + (4pg + 2qg)z=0 
zIV+ 6pz" + (4p + 11p?+ 109)z" + (p"+ 7pp'+ 6p3+ 30pg + 109) z' + 
-- (18p°9 + 6pq+ 15pg + 99° + 3g") z 
3V+10p3!N4-(10p'+35p*+209)z"+(5p"+45pp'+-50p*+ 120pg+30g9')z"+ 
+|p"+11pp"+7p?+46p*p' +24p'+(56p'+208p*)q+649+120pg+189"]2"+\—0. 
+|80pp'+8p"--96p*)g4+128pg?2+ (28p'+104p*)g'4#64qg+36pg'"+4q"|z 
10) 
i 
