CAN 
e la (17) diviene : 
1 
2IV + brz' +25 2423 <> (:V+ brzll + 7/2 +2" 2) 
de 
zl" -2rz gr (+ 1ra! 7g +2r°2) 35! =0 (19) 
r 
124? 
mo, (3V + bra” + 7712 +27" 2) 32 6z 
r 
11. Ogni soluzione comune all’equazione differenziale lineare 
omogenea del sest’ ordine (13) ed all’equazione differenziale non 
lineare (17) è il prodotto di due soluzioni particolari dell’equa- 
zione differenziale lineare omogenea del terz’ ordine (5). 
Infatti, pel teorema dimostrato al n. 8, ogni soluzione della (13) è della forma: 
vi, + 0%, + 0% 
in cui v, v3, v3 sono tre soluzioni particolari della (5). Ora dalla: 
di + 0 + vg = 3 
e dalla (5) si ricavano per le funzioni (0,0) (0,1) (0, 2) (1,1) (1,2) (2,2) i valori 
(18); epperciò, se la z soddisfa alla (17), dev’ essere eguale a zero il quadrato del 
determinante : 
v', vg vs 
r fr (4 
Va, Va Us (lp 
(0,1 Vg V3 
e, in conseguenza, le vj vg v3 devono essere legate da una relazione lineare. Di qui 
risulta che la somma: 
vi, SE vg Cn vg 
è eguale al prodotto di due funzioni lineari delle v1, v2, v3, cioè al prodotto di due 
soluzioni particolari della (5). 
Live 
12. Quale applicazione dei precedenti teoremi cerchiamo l’equazione differenziale 
lineare omogenea del terz’ ordine della forma: 
y"+ry=0 (20) 
per la quale sia costante il prodotto di due soluzioni particolari. 
Per p=q=°0 si ha dalle (7) (11), (12): 
Z=18 (V+11r2"+7r2°+2n"2) 
L= 72r (2 + 2r2) 
e la (13) diviene: 
fall raNa 7983" rr! + (nr — 79) + 2(0r! rr —4r3)2—=0. (21) 
Risulta quindi dal teorema del n. 11 che ogni soluzione comune alle (19) (21) 
è il prodotto di due soluzioni particolari della (20). Ora queste sono soddisfatte, 
