Se 
10. Il prodotto di due soluzioni particolari d’un’equazione 
differenziale lineare omogenea del terz’ ordine, la quale non sia 
della forma (15), soddisfa ad un’equazione differenziale, non li- 
neare, del quint’ ordine, i cui coefficenti sono funzioni razionali 
di quelli della proposta equazione differenziale e di alcune loro 
derivate. 
Il prodotto di due variabili può facilmente trasformarsi nella somma dei qua- 
drati di tre funzioni lineari di quelle variabili, le quali funzioni sieno legate da. una 
relazione lineare. Indicando quindi con 3 il prodotto di due soluzioni particolari 
della (5): 
ya py +—qgy+ry=0, 
e con vu, Vv, v3 tre soluzioni particolari della stessa (5) fra le quali abbia luogo 
una relazione lineare, potremo porre: 
Va + va +03 =, 
e sarà: 
vi vg 03 
Ur vo 03 |=0, 
quindi anche ; Vi Va 3 
(2,2) (2,1) (2,0) 
(1,2), (1,0) (1,0) |=0, (17) 
essendo : (0,2) (0,1) (0,0) 
(4, k= ola va My) 4 
Ora gli elementi di questo determinante si possono esprimere razionalmente per 
mezzo di z, p, g, ” e loro derivate, e propriamente sì trova : 
De 1 
(0,0) =z,  (0,1)=34, (02)=3#—(1,1) 
1 1 1 P 
(1,2)= =FI-P(1,1), eee zz; r-3(p-£-%)0, 1) è (18) 
pî 
p801, 1) Se —L4 ir) (0-0) 
4 } 
in cui Z ed S hanno i valori ( DIGO): 
È chiaro quindi che la GR è un’ equazione differenziale rispetto a 2, non li- 
neare, del quint’ ordine, i cui coefficenti sono funzioni razionali di p, g, r e di 
alcune derivate di queste funzioni. 
Nel caso di p=g=0 si ha dalle (7) (10) (18): 

= ESA, S=216r 
(1,1)= 1 N 11lrz' + 775 +2r" 5) 
1 5 1 1 1 
RESI. RAT, ME aVezna — © JM SEN 
(2,2) = gala gras, (LIT 
(0,2) —=— c (eVtora + 73 + 272) 
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