da questa si ricava : 
VU, + VV, + V303 = 0 
vi Va + 020 + v30' 3 = (01° + 09° + 032) 
(a+ Vada + 0303) =—p(01°+ 0° 032) 
9 
301 + va? + vs?) — (84 pe L) (01° + vg? + 03) 
(16p93+72pp'—72pq+36p"—108g+216r)(v1%+v,°+0v3?)=0, 
dall’ ultima delle quali risulta : 
16p3 + 72pp — 72pq + 36p"— 1089 + 216r=S=0, 
poichè 1’ eguaglianza: 
VIE Va va = 0 
implicherebbe una relazione lineare fra v,, va, 03, per quanto è stato dimostrato 
al n. 2. 
8. Ogni soluzione dell'equazione di sest’ordine (13) è una fun- 
zione intera omogenea di secondo grado di tre integrali fondamentali 
della (5). 
Sieno 1, 2, 3 tre integrali fondamentali della (5): la (13) sarà soddisfatta 
dalle sei funzioni: 
U1°, Un, U?3, Un U3; UzU1, UN U2, 
fra le quali non può aver luogo alcuna relazione lineare, poichè in tal caso, come 
risulta dal teorema precedente, dovrebb’ essere : 
SION 
Dunque ogni soluzione della (13) è una funzione intera omogenea di secondo 
grado di tre integrali fondamentali della (5). 
9. Se un’ equazione differenziale lineare omogenea è sod- 
disfatta dai tre prodotti: 
UgU3z, UZzU1, UU, 
r 
essendo 1, %a, uz tre integrali fondamentali della (5), per la quale 
la funzione S sia diversa da zero, essa ammette delle soluzioni 
che non sono prodotti di due soluzioni particolari della (5). 
Se un’ equazione differenziale lineare omogenea è soddisfatta dai tre prodotti: 
. Ug Uz, UzU1, Ul U9, 
essa sarà pure soddisfatta dalla somma: 
dUZUZ + bug u, + CU) U9 
quali si sieno le costanti @, bd, c. Ora questa somma è eguale al prodotto di due 
soluzioni particolari della (5) nel solo caso che una delle tre costanti sia eguale a 
zero; poichè dall’ eguaglianza : 
AUrUz + buzu, + cunur = (21,1 + Bi, + Y1U3) (22, + Ba a + Y2U3) + 
non potendo essere nulla una forma quadratica delle w1, 2, %3 (7), sì ricava: 
cia, == 0, b1B,=0, yaya=0, 
By: + Bevi = a, Vic, + Ya = db, 102 + dai =, 
le quali sono incompatibili quando tutte e tre le costanti @, d, c sieno diverse da zero. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — Memorie — Von. XIV.° 2 
