LISI 
il prodotto di due soluzioni particolari della (5) soddisfa all’equazione differenziale 
lineare omogenea del sest’ ordine: 
Sta + SZ = SZ (13) 
che si ricava dalle (8) (9). 
Inoltre, indicando con z il prodotto di due soluzioni particolari della (5), le 
derivate dei loro logaritmi sono le radici dell’ equazione di secondo grado : 
Zi 
SE 
in cui Z, ed S sono dati dalle (11) (10). 
6. Suppongasi ora che i coefficenti della (5) soddisfacciano alla: 
S— 16p° + 72pp' — 72pq + 36p"— 1089 +216r=0. 
In quest’ ipotesi, posto : 
stzii+ 
=0 (14) 
i EI RE E 
si trova: 
r=2Q+4PQ, 
e la (5) diviene: 
yl + 8Py' + (P+ 2P°+ 40)y/ + (20 + 4PQ)y=0. (15) 
Ora ogni soluzione della (15) è il prodotto di due soluzioni particolari della: 
n' + Pa + Qa=0 (16) 
epperò il prodotto di due soluzioni particolari della (15) sarà il prodotto di quattro 
soluzioni particolari della (16) e, come tale, soddisferà ad un’ equazione differenziale 
lineare omogenea del quint’ ordine, quale è appunto 1’ equazione: 
Za 0 
Inoltre, indicando con z il prodotto di due soluzioni particolari della (15), ossia 
il prodotto di quattro soluzioni particolari della (16), si potranno esprimere razio- 
nalmente, in funzione di z, p, q e loro derivate, i coefficenti dell’ equazione di quarto 
grado che ha per radici le derivate logaritmiche di quelle quattro soluzioni. 
Indicando con 41 ma due integrali fondamentali della (16), la (15) sarà soddisfatta 
dalle tre funzioni: 
un =, = 9a, Uz =M1 92, 
le quali costituiscono un sistema d’ integrali fondamentali, e sarà : 
ua —uv=0, 
che è conforme a quanto è stato dimostrato al n. 3. 
7. Reciprocamente, quando sia eguale a zero una funzione intera 
omogenea di secondo grado di tre integrali fondamentali della (5), 
i coefficenti di quest’ equazione devono soddisfare alla: 
DE-_B0P 
cioè la (5) dev’ essere della forma (15). 
Sia eguale a zero una funzione intera omogenea di secondo grado di tre inte- 
grali fondamentali della (5): pel teorema dimostrato al n. 1, indicando con %v1, v2, 03 
altri tre integrali fondamentali della stessa (5), si avrà: 
vi + 0% + vg = 0 
