



Sul prodotto di più soluzioni particolari 
d'un’ equazione differenziale lineare omogenea, 
e specialmente sul prodotto di due soluzioni particolari 
dell’ equazione differenziale lineare omogenea del terz ordine. 
Memoria del prof. DAVIDE BESSO 
approvata per la stampa negli Atti dell’ Accademia 
nella seduta del 7 maggio 1882. 
In una Nota, intitolata Alcune proposizioni sulle equazioni differenziali lineari ('), 
ho dimostrato che il prodotto di m soluzioni particolari quali si vogliano d’ un’equa- 
zione differenziale lineare omogenea d’ ordine n, soddisfa ad un’ equazione differen- 
ziale lineare omogenea l'ordine della quale è dato dalla formula: 
n(n+1)(n+2)....(n+m_1l) 
1.2.3....W î 
e che le derivate logaritmiche di m soluzioni particolari d’un’ equazione differenziale 
lineare omogenea d’ordine n, sono le radici d’un’ equazione algebrica di grado m, i 
coefficenti della quale si possono esprimere razionalmente per mezzo del prodotto di 
quelle m soluzioni, d’alcune sue derivate, dei coefficenti della data equazione diffe- 
renziale e d’alcune loro derivate (°). Nel presente scritto, premesse due proposizioni 
ausiliarie, ed alcune osservazioni generali sui teoremi citati, sono stabilite alcune 
proprietà dell'equazione differenziale lineare omogenea del terz’ ordine relative al 
prodotto di due soluzioni particolari, e vi è considerato il caso particolare che un 
prodotto così fatto sia costante, per una forma particolare dell’ equazione differenziale. 
I. 
1. Quando sia eguale a zero una funzione intera omogenea di 
secondo grado di tre variabili, fra le quali non esista alcuna re- 
lazione lineare, dev’ essere pure eguale a zero la somma dei qua- 
drati di tre funzioni lineari di quelle variabili, le quali non sieno 
vincolate da alcuna relazione lineare (°). 
(') Nel vol. X delle Memorie della R. Accademia dei Lincei. 
(@) Veggansi, sul secondo teorema, le osservazioni del prof. Casorati nella sua Nota Sulle equa- 
zioni differenziali lineari. Atti della R. Accademia dei Lincei Vol. VI dei Transunti. 
(°) Le funzioni lineari e le relazioni lineari, di cui è parola in questa Memoria, s° intendono 
sempre omogenee ed a coefficenti costanti, e s' intendono pure a coefficenti costanti le funzioni omo- 
genee non lincari. 
