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Ri) (gg) (E) A - BC, 
2.151 
TUA 
Vogliamo calcolare finalmente le risultanti della forma fondamentale coi tre cova- 
rianti H, T, e P—=p,i=(ag)a,i, come anche il discriminante della forma H, serven- 
doci di alcune formule date dal sig." Gordan nei Math. Annalen Bd. IV 180. 
epperò R(H7)= BO) (VI) 

Se l’ equazione fa 
ha una radice doppia, questa è radice comune alle due equazioni: 
1 Di Il D 
Di; (ee de Fata 
—'agats—0 — las028 0 
5 932; Lar 5 ii ‘ 
la cui risultante, invariante dell’ottavo grado, è il discriminante di f. 
Intanto possiamo risparmiarci questa eliminazione, ricorrendo alla formula (XXXII) 
del precedente $: 
A? 6 (53 9 
AI 
la quale ci dice che l’invariante di 8° grado GI — B si annulla se 3—6j?—=0, 
cioè se coincidono due punti della quaterna F=0, ovvero se F==0, cioè se il quinto 
punto di f è un punto di F, epperò in entrambi i casi se la forma f ha un elemento 
doppio. Dunque: 
Il discriminante della forma fondamentale f è: 
D(f)=A?— 64B. 
Dalle relazioni: 
2a). by db, — 204,0, bd = 2a, b db (Ad, — Ag: ) = 2(ad)a,b,3b, (ey) = 
= (ab)a,*b,°. (24) 
az. bd — 0 dd = and dy (ad ad) = ((Ad)az dad (ey) = 
= - (ab)az*bx%. (4) as bj abs — 7 (ab)?az?bx" (cy)? i dzdby + dr 
— HH, O (27)? 
a>.H,H,y°— aa, H=a,H,°(a,H,—a,H;)=(aH)a;‘H,5.(cy))=T. (07), 
si conchiude che se f ha una radice doppia, questa essendo radice comune ad f e 
alla polare ayaz* (qualunque sia il polo y), è anche radice di H, di H,H,° (epperò 
radice doppia di H) e finalmente di T. Dunque le risultanti: 
R(f,a,0,4), R(f,T), R(f,H) e il discriminante D(H) 
devono possedere come fattore il discriminante di f, A? — 64B, 
Prima di applicare questi risultati è uopo stabilire il seguente: 
Teorema. Se f e F indicano due forme dello stesso grado n e yY(Y142), 2(z122) 
due parametri arbitrari, la risultante delle due forme: 
o=yf+vF, d=zf+%F 
è: R(9, 9) = (Va). R(5 1). 

ab, — a,b; :— (ab)Pa:"0.?. (cy)? =H.(cy)h 
(VII) 

(') H e 7 non possono avere un elemento comune che annullandosi B ovvero C. 
