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Infatti le equazioni precedenti possono scriversi anche così: 
o=Yyif+vF, Zio —YVab= (Yz). fa 
dunque © ya. R(GF)=R(fho), v2 R(p,0)=(y2)°.R(fo); 
epperò y R(p,9) =" VR. 
Ciò premesso dalla relazione: 
ayax4(02) con a,0,5(£Y) = A29(Y3) 
segue: R(f, ya, 9)(y2)'= R(0,0,t 4,08) .{7) 
e poichè R(a,a,5, 00,5) == (yz). D(f), 
si conchiude: R(f, aya,*)=D(f).f(y). 
Ponendo in particolare yi=, € ya=—%; Si ottiene il seguente risultato: 
«La risultante della forma fondamentale f e della 1° polare del punto a,=0 
«rispetto ad f si scompone nel seguente prodotto: 
R(f,P)=(A?— 64B). (3 Ap) IR. (VII) 
Dalla relazione: a,’0y°0,) — ayax*. bb t=H0. (0y)? 
si conchiude: —R(,B)/09)= [R(0,09 |] =D? f@)? 
dunque: la risultante di f e del suo essiano è il quadrato del discriminante della 
forma fondamentale: 
R((.H)=D(f)?. | (TX) 
Dalla formula: a,3.H,H,y° —aya4.H,5=T Te 
segue: R(f.T).f(y)=R(f 0,04) .R(H)=D(f).f(y).D(; 
dunque: la risultante di f e del covariante di 9° ordine T è uguale al cubo del 
discriminante di f: 
R(fT)=D(f)f. ; (X) 
Dalla formula (VII) del seguente S (HH°)?H,*H',4 = il: segue: 
DA)?—R(E, (HH')}H,‘H,5)— R(H,j).R(H,/)=R(H,g). D(f}, 
duuque la radice doppia di H è anche radice di f, come sapevasi, ovvero è radice 
di j=— (ai)?a,3; ma dalla penultima delle formule (VII) si vede inoltre, annullan- 
dosi identicamente per la radice doppia di H la polare H,*H,, che deve annullarsi 
identicamente (aî)?a,*a, (') epperò le derivate parziali di (aî)?a,*, dunque D(j)=C=o0, 
(') Differenziando infatti i due membri di questa formula rispetto alle y e sostituendo le dif- 
ferenziali per le z, e 2, si ottiene: 
3f. ba*by"bz — azaz*. by? bd, — 2avan*. bb yby = HxH . (cy)? + 2Hx°Hy. (2y)(22), 
e sostituendo le y, e ys per le 7, e —i;: 
3f. (bi) b2*bz — azax*. (di)?bz® — 2(0Î) (di) ax *b:*b2 = H "Hz ig + 2((D)Hz%s - (2). 
Se x, ©, sono le coordinate dell'elemento doppio di H appartenente anche ad j= — (aî)?a,, 
si annullano, qualunque sia z, le forme: 
(bi)*d2°, Hy'Hz, ((H)Hx°ix. 
Si ha inoltre: 
— 2(0i)(di)ar' bob = — dx babe i (ai) da + (bi)*a,? — (ab)i. ins t = — (bi)abr3bz .f; 
sostituendo dunque nella relazione precedente, si ottiene 
2f.(bi)*bz*bz=0, 
‘qualunque sia z e, poichè f per ipotesi non si annulla, 
(bi)2bx2bi =0 , (di)2bx?ba =0. 
