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INTO LE 
conducono le rappresentazioni tipiche (XXII), (XXVI), (XXIX) del $ 1 e la rappre-. 
sentazione tipica: 
;p2 
(0). SEE 10123 (LT) MI) 
diviene illusoria. Infatti abbiamo visto che l'equazione 
Pff—HT=0 (2) 
ha per radici i centri armonici di 3° ordine di uno degli elementi di f rispetto ai 
rimanenti, ed è facile vedere che se la forma f ha un elemento doppio, questo è radice 
di quell’equazione. Abbiamo poi visto che prendendo di un polo y la biquadratica 
polare rispetto ad f: aya,*, e di ognuno degli elementi di @,a,f prendendo i centri 
armonici di 2° ordine rispetto ai rimanenti, il polo y è uno di questi centri armo- 
nici se sodisfa all’ equazione: 
La Dara - H?—o, (3) 
e si vede facilmente che se f ha un elemento doppio, questo è radice dell’ equazione (8). 
Però se nella rappresentazione tipica (1) facciamo le variabili arbitrarie 41 x, uguali 
alle coordinate dell'elemento doppio di f, si annullano i due ultimi coefficienti, ma 
si annulla nel tempo stesso f(x) e la rappresentazione (1) diviene illusoria. 
La f assume invece una forma canonica semplicissima nel caso in cui annullansi 
separatamente gl’ invarianti A e B. 
Poichè A—o0, i due elementi del covariante quadratico è, il cui discriminante 
è A, devono coincidere fra loro, e con essi viene anche a coincidere l’elemento #8, 
coniugato armonico di « rispetto alla coppia i. Essendo B=-(it)?=0, la coppia 
di punti è è armonica alla coppia di punti t, epperò il punto $ coincide con un ele- 
mento di 7. La coppia di punti $=(i7)i,t,, armonica a ciascuna delle coppie è e 7 
si riduce al loro punto comune #, con cui viene dunque a coincidere d, coniugato 
armonico di « rispetto a 9. Annullandosi l’invariante (ya)=N=(93)?, coincidono 
fra loro i due punti &@ e y nell'altro elemento di 7, essendo y coniugato armonico 
di « rispetto a 7. Dunque dei quattro punti rappresentati dai quattro covarianti lineari, 
i due # e è coincidono in uno degli elementi di 7, con cui vengono anche a coin- 
cidere gli elementi doppi é e S, e gli altri due « 6 y coincidono nell’ altro ele- 
mento di 7. 
Giusta la relazione (ad=(A°—B).R—o, ax dev'essere un elemento 
di f e precisamente l’elemento doppio di f, infatti abbiamo dimostrato al $ 1 che 
quando è nullo l’ invariante SAB, la forma f si scompone nell’elemento « e 
in una quaterna di punti equianarmonica, la quale non può possedere un elemento 
doppio; dunque l’elemento doppio & e gli altri tre elementi di f devono formare 
un gruppo equianarmonico, cioè « dev'essere uno degli elementi dell’essiano degli 
altri tre. 
Questi risultati si confermano tutto al più, assumendo nella rappresentazione di f 
e dei suoi covarianti come elementi fondamentali quelli del covariante 7, poichè ponendo 
a—-2tn, (4) 
