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si deve avere: 
a=p.(€0)!°. 8; y==g. (60). E; P=r. (€)! ni PD (5) 
imm. (ini; Sn (Ca (6) 
in cui p, q, 7, S, m, n indicano coefficienti numerici e e 
Dalla teoria delle forme cubiche si sa, avendo preso per punti fondamentali gli 
elementi di t=-(jj')Zj:Jx, che j prende la forma: I 
j=b_rt. (7) 
Intanto, ponendo f= ag + 541559 + 10a36°9% + 10438243 + 5axggf + yo, 
segue jd=— (di)?a,$ ==— m(En)0 è an + 3ax€29 + 3agEn® + 1303 

la quale espressione, paragonata colla precedente (7), ci dà le condizioni: 
ME pp VO 
Formando poi il covariante è da f si ottiene 
i—2m.(€n)i I (ai + am)(Gsé + agg) — 4(a1é + agm)(03È + agmn) + B(ag + agi)? | 
= 2m. (Ea) aoE(at + azn) + 3az*9? 
la quale espressione, paragonata colla precedente (6) di i, dà le condizioni 
da, ==0 e dd, =0, Ovvero a,=0, dy="0, 
non potendo, giusta l’espressione di j, essere ag==0. La forma f si riduce dunque 
all’ espressione semplicissima: 
f=E2(a6 + 10034). 
I due coefficienti restanti ay e a3 si possono esprimere in funzione degl’ invarianti 
di f, facendo uso della forma tipica XXIL $ 1. 
Formando l’essiano dell’ultima espressione di f, trovasi: 
H= 603. En ta £3 63 — 2agn* 
Possiamo dunque conchiudere il ui teorema: 
« Se annullansi contemporaneamente i due invarianti A e B, f ha per elemento 
« doppio uno dei punti di t e gli altri tre elementi ciclicamente proiettivi agli ele- 
« menti di t. L’essiano di f contiene i due elementi di 7 dei quali l’uno come elemento 
« doppio, e gli altri tre elementi son ciclicamente proiettivi a quelli di 7». 

3° Caso in cui è contemporaneamente A? —64B=o0 ed R—=o0. 
Abbiamo dimostrato nel caso R—=o0 chei cinque elementi di f sono rappresen- 
tati da un elemento di S e da due coppie di punti armoniche alla coppia 9. Se inoltre 
è nullo l’invariante A*— 64B, discriminante di f, devono coincidere due elementi di f. 
Indichiamo con P il punto che f ha comune con 3 e (a, 43) (01 ds) le due coppie 
di f armoniche a S. Se P coincide con,uno degli altri quattro per es. ax, con questo 
viene anche a coincidere l’altro elemento di 3, come anche uno dei punti dj, cosicchè 
verrebbero a coincidere 3 punti della forma, caso che noi escludiamo, SUPPORENLO di 
diverso da zero. 
Se coincidono due punti di una stessa coppia (a, da), con essi deve coincidere 
l'elemento di © diverso da P, cosicchè f conterrà i due elementi di 3 
S=2my (1) 
