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Dim. Pongasi: 
Si pai Ty 5 
essendo S la sostituzione che si vuol rappresentare, e A' un numero abitrario della 
serie: 1, 2, 3, .... .. Derivato così il numero A" dal numero #', si ponga: 
SE= Ti Tn i 
e poi: 
SETA 
e così successivamente. Sia 40 il primo dei numeri : A, A", A" ece., il quale venga 
preceduto da altro numero eguale % (©). Dimostreremo facilmente che h()= hl. 
In fatti, poichè: 
ra OA 
S= Ti) Tila) ima: T;(0-) Ti) 9 
non potrebb’ essere h0)= A(®), per A(©) diverso da #, se non fosse altresì: 
hO) = h(®-1), Ma in questo caso, il numero A 0-1) anteriore ad A), sarebbe 
preceduto da altro numero ad esso eguale, contro l’ipotesi. Il numero dei distinti 
elementi successivi 4', A" ecc. ottenuti col processo antecedente, è poi eguale all’or- 
dine c della sostituzione S. Infatti per moltiplicazione si ricava : 
= CEI da SAITTA): 
E siccome è (A) il primo degli apici che soddisfi alla condizione : 40) =, 
sarà SA! la prima fra le potenze di S che si riduce all’ unità. Perciò: 
\—1=0, 
essendo o l’ordine di S. Si potrà adunque stabilire il ciclo : 
(CE) 
cono numeri fra loro disuguali, tratti dalla serie: 1, 2, ..... pu. Sia ora k' un numero 
di questa serie il quale non sia contenuto nel ciclo predetto. Pongasi: 
SER = 
e si potrà formare il nuovo ciclo: 
(ati k(0)), 
il quale sarà privo di elementi contenuti nel precedente. 
Poichè se fosse: k(9 —=h(, siccome: 
i 1 = 
Sat, Ty = Tio-y)To) 
sarebbe ancora : 
ko) — hO), k(0-2) = hO), ..... = 0-4), 
Se non che, l’ultima eguaglianza, è contraria alla ipotesi. Assunto ora un nu- 
mero / diverso dai numeri contenuti nei due cieli precedenti, .e posto : 
Se tira ba = Ty; IL von = ara) TON 
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