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si potrà formare il ciclo : 
(TRI) 
privo di elementi comuni a qualsivoglia dei due precedenti, e c. s. I numeri: 1,2, ....4y 
vengono adunque distribuiti in cicli d’ordine o, il prodotto dei quali è atto a rap- 
presentare una sostituzione, (la sostituzione corrispondente ad S). Ed è appena neces- 
sario avvertire, che distribuendo i numeri: 1, 2, .... . in cicli, mediante ciascuna 
delle rimanenti sostituzioni del gruppo fondamentale, si otterrebbero altrettante sosti- 
tuzioni ordinatamente corrispondenti a queste, e che si può, data una sostituzione 
del gruppo fondamentale trovare la corrispondente, e ritrovare quella, data questa. 
Ciò posto, facilmente si dimostra che il sistema delle u sostituzioni regolari tra 
inumeri: 1, 2,....., derivate dal gruppo fondamentale (T), costituisce un gruppo (T)), 
perchè al prodotto di due fra le sostituzioni di (T,) corrisponde il prodotto delle 
corrispondenti sostituzioni di (T). Si considerino infatti nel sistema derivato da (T) 
due sostituzioni qualisivogliano, la prima delle quali all’ elemento « (v qualsivoglia), 
subordini (‘) l'elemento è, mentre la seconda subordina all’elemento è l’elemento v. 
Siano inoltre Sy ed Sy le sostituzioni di (T) ordinatamente corrispondenti alla prima 
e alla seconda sostituzione. Sarà: 
SS ito li Seo 
E perciò: 
STRASS Io 
Adunque al prodotto: Sy © Sy, corrisponderà la sostituzione che subordina l’ele- 
mento v all’elemento « scelto comunque in Sy, ossia il prodotto delle due sostitu- 
zioni che arbitrariamente furono scelte, fra quelle del sistema derivato. Finalmente 
è evidente, che nel gruppo (T,) derivato dal gruppo fondamentale, esiste una sosti- 
tuzione e una sostituzione sola, che subordini all’uno l’altro di due determinati 
elementi. Poichè, la sostituzione corrispondente al prodotto: T,71, T,, e questa 
soltanto, è quella che subordina all’elemento « l’elemento v. Il gruppo (T,) è adunque 
transitivo. 
La legge di derivazione delle sostituzioni corrispondenti alle sostituzioni di (T), 
quale è stabilita dalla dimostrazione che precede, può essere facilmente trasformata 
in quella che fu enunciata fin dal principio, nel modo seguente: Posto: 
Meiosi eso Mo; 
= pura To = Tui bian: o e io) Ty 9 
= ara io = Tui IN vv = Te) Ng 
la sostituzione S era rappresentata dal prodotto : 
O ei (RITI k(0)) uu (Ci r(9)). 
(') Invece di, faccia corrispondere. 
