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gli elementi che le sostituzioni. di (g,) subordinano risp. all’ elemento e". Gli ele- 
menti (2) si troveranno subordinati tutti a ciascuno nel gruppo (gp). Inoltre, la 
serie (2) non avrà elementi comuni con la (1). Poichè, se fosse: 7",= rm, sarebbe 
ancora : 
(dn) = (6 (E (1), 
(€, E9)=(6h mg) (€, Tola) 
adunque, nella sostituzione corrispondente a 9g, 9, !, l’elemento e" sarebbe subordinato 
ad e', contro l’ipotesi. Continuando, perverremo a distribuire tutti gli elementi di (T),) 
in periodi, composti ciascuno di n elementi che sono subordinati tutti ad ognuno 
di essi nelle sostituzioni del gruppo (9,). Si può qui osservare che, essendo il numero 
degli elementi distribuiti in periodi, eguale all’ ordine di (T), ossia a f., si ottiene 
il noto Teorema di Lagrange. « L’ordine di un gruppo è multiplo dell'ordine di 
e per ciò: 
qualsivoglia gruppo in esso contenuto ». Ponendo : a m, il numero m sarà quello 
dei periodi ne’ quali le sostituzioni di (g,) spartiscono la serie: 1,2.... yu. Analogo 
ragionamento può farsi, togliendo a base il gruppo (9) centenuto nel gruppo anti- 
potenziale di (T) e corrispondente a (9), e in generale, qualsivoglia gruppo conte- 
nuto nel gruppo transitivo d'ordine e grado eguali congiunto al gruppo (T) per iso- 
morfismo oloedrico. H così: 
« Per ogni gruppo minore d’ ordine È contenuto nel gruppo transitivo d’ ordine 
e grado eguali in isomorfismo oloedrico con un gruppo maggiore, gli elementi di 
questo, vengono distribuiti in m periodi ». 
Viceversa, si supponga che n fra le sostituzioni del gruppo d’ordine e grado 
eguali congiunto per isomorfismo oloedrico al gruppo fondamentale, subordinino tutti 
a ciascuno gli elementi di ognuno degli m periodi : 
(71 n'a s00000 Tn) 9 (17, To voceso TEA) 39 soscose (710), Tto(®), 000900 Tn"). 
Le sostituzioni anzidette formeranno un gruppo d'ordine n contenuto nell’ iso- 
morfo del fondamentale, al quale corrisponderà necessariamente un gruppo di questo. 
Infatti il prodotto delle sostituzioni: 
(OTTONE ere) 
(Ti), m(0)), 
essendo (per » determinato convenientemente) : 
(mi, n) = (0, 0), 
sì riduce a: 
a cagione della ipotesi. 
Si può nondimeno avvertire che, dato uno dei sopra detti periodi, resta deter- 
minato il corrispondente gruppo minore contenuto nel gruppo fondamentale, e con 
esso gli m—1 periodi rimanenti. È così stabilito che: 
« La distribuzione dei y elementi del gruppo transitivo di eguale ordine e grado che 
è in isomorfismo oloedrico col gruppo fondamentale, in m periodi, costituisce l’imagine 
oloedrica di un determinato gruppo d'ordine È, contenuto nel gruppo fondamentale». 
