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Dalla dimostrazione ordinaria del Teorema di Lagrange (') che fu testè occa- 
sionalmente citato, apparisce che: Se un gruppo (9) è contenuto nel gruppo (T), 
si può trovare un sistema: 
Ep Lei v Ha 
di sostituzioni fra loro disuguali, così fatto, che le sostituzioni del gruppo siano 
tutte contenute nel quadro : 
7 Hi Yi» Hi Ga + coroso Hi In 
(Q) Hs 91, Haga, Ha 9n 
Tetto Lelio 000 EIIgRE 
Apparisce anzi da quella dimostrazione, che una fra le sostituzioni H può 
essere eguale all’ unità. 
Prescindiamo da quest’ ultima circostanza, e supponiamo che le sostituzioni del 
gruppo (T) siano tutte comprese in uno schema (Q). Condizione a ciò necessaria e 
sufficiente sarà, che nessuno dei prodotti della forma: H,- H,, per « e v differenti 
fra loro e scelti nella serie: 1, 2 .... m, sia riducibile ad alcuna delle sostituzioni 
di (9). Infatti, se i prodotti: H,-! H, non sono riducibili al gruppo (9), due sosti- 
tuzioni di (Q) non possono esser eguali. Perchè se esistesse l’eguaglianza: H; g; = H,, 9j,s 
per è e j diversi da d e da ji risp., sarebbe altresì: H,, 3 Hi="9g;, Gi} e perciò, 
giusta l’ipotesi: ii j=j1. Viceversa, se le sostituzioni di (Q) sono fra loro 
diseguali, non può essere: H,!H,= 97, per w diverso da v. Infatti se l’ ultima 
eguaglianza esistesse, si avrebbe: H,.1=H,.97- Ma, stante la condizione del qua- 
dro (Q), ciò non è possibile altrimenti, che supponendo: H,=H,, 9g5= 1. 
Def. « Se moltiplicando a sinistra tutte le sostituzioni del gruppo (9) contenuto 
in (T) per le sostituzioni: Hi, Ha....Hn, si ottengano tutte le sostituzioni di (T), 
si potrà dire che il sistema (H) è un quoziente sinistro di (T) per (9). La dimo- 
strazione ordinaria del Teorema di Lagrange chiarisce ancora, come si possano com- 
prendere tutte le sostituzioni di (T) nel quadro: 
1 Hi, 99, H' 9 coreerg Gn Hi, 
91 Ha , 92 Hg 000000 In ILA : 
(OR e 
91 Eos 92 His cosroo In Ho 
per mezzo delle sostituzioni (H') determinate a dovere. 
Pertanto, il sistema delle (H') potrà dirsi quoziente destro di (T) per (9). E 
sarà facile dimostrare che: Affinchè il sistema (H') sia quoziente destro di (T) per (9), 
è necessario e basta che nessuno dei prodotti: H, H,!, sia riducibile (per « di- 
verso da v), al gruppo (9). 
Poichè ad ogni elemento delle sostituzioni di (T,) o di (T,) corrisponde una 
sostituzione di (T), e precisamente all’ elemento numerico @ la sostituzione T,, pos- 
siamo ricercare nei gruppi (T,) e (T,), le imagini dei quozienti sinistri o destri 
(‘) Jordan, Liv. II-39. 
