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III. 
Teorema. Il gruppo potenziale e il gruppo antipotenziale di un 
gruppo composto ed esclusivamente quelli di un gruppo composto 
si segano nel campo dei loro elementi. A ciascuna intersezione 
parziale dei due gruppi, corrisponde un gruppo contenuto nel 
gruppo fondamentale, e alle sostituzioni del primo sono permuta- 
bili le sostituzioni di questo. 
Dim. Le sostituzioni del gruppo (T), siano permutabili a quelle del gruppo (9) 
in esso contenuto. Consideriamo le note due serie di periodi determinati dal gruppo (9) 
nel gruppo potenziale e nel gruppo antipotenziale di (T). Poichè ì quozienti destri 
di (T) per (9) sono anche sinistri, e viceversa, ricordando il modo di diportarsi dei 
quozienti sinistri e destri rispetto alle due serie di periodi ordinatamente, dovremo 
concludere, che due elementi i quali si rinvengono in periodi diversi della prima 
serie, dovranno altresì esistere in periodi diversi della seconda, e viceversa. Segue 
da ciò che due elementi, appartenenti a un medesimo periodo di una serie, debbono 
altresì appartenere a un medesimo periodo dell’altra. Adunque le due serie di periodi 
sono eguali, e perciò il gruppo potenziale e il gruppo antipotenziale, si segano secondo 
i periodi dell’una o dell'altra serie. 
Passiamo ora a stabilire la proprietà inversa, che cioè: Se il gruppo potenziale 
e il gruppo antipotenziale si seghino, il gruppo fondamentale è composto, e tutte le 
sostituzioni di esso sono permutabili a quelle del gruppo (9) che corrisponde a cia- 
scuna delle intersezioni. 
Supponiamo adunque che le due serie di periodi: 
ORO (0){(02}, 
ORO 
siano eguali. Due elementi « e v che appartengono a un medesimo periodo d’una 
serie, apparterranno altresì a un medesimo periodo dell’altra. Ma poichè, se gli ele- 
menti v ev appartengono a un medesimò periodo dell’un3 e dell’altra serie, i prodotti : 
pai Toe Io, i 
sono entrambi riducibili al gruppo (9) e viceversa, così potremo dire che una delle 
due eguaglianze: 
T,1T,=9, TuTv!=9% 
è conseguenza dell’altra. Ciò posto si chiamino g, e T, due arbitrarie sostituzioni, 
del gruppo (9) la prima, del gruppo (T) la seconda. Pongasi: 
(A) LORO NL, Mor 
Seguirà: 
Tg T.Tg!=9, 
ossia: 
To (Te T. 1). 
Adunque, sarà simultaneamente: 
i To To T.1=9y, 
ossia: 

e gi = Yu . 
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