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sostituzioni di (T) sarebbero permutabili a quelle di (9), contro l’ipotesi. È adunque 
dimostrato che: 
« Esistono sostituzioni, (ad es. le sostituzioni che trasformano ogni sostituzione 
del gruppo potenziale nella corrispondente del gruppo antipotenziale), assolutamente 
fisse, e consistenti, in soli scambî fra i periodi nei quali ogni gruppo minore con- 
tenuto in un gruppo maggiore spartisce gli elementi del gruppo potenziale di questo, 
quando, e soltanto quando le sostituzioni del gruppo maggiore siano permutabili a 
quelle del gruppo minore ». 
Si osservi ora, che il gruppo potenziale fra gli elementi: 1, 2,.... ., non diffe- 
risce essenzialmente da un gruppo (1) fra 4 elementi: 
ZI 3 Xx, AZ 93 cerro A, 
transitivo, d’ordine e grado eguali, e in isomorfismo oloedrico col gruppo fondamen- 
tale, ma si trasforma nel gruppo (T), e precisamente ogni sua sostituzione si con- 
verte nella corrispondente del gruppo (I), mediante sostituzione di un corrispondente 
elemento « ad ognuno dei numeri: 1, 2,....ft. Si conclude che i periodi ne’ quali 
- il gruppo (9) spartisce il campo 1, 2, 3,...., danno origine, surrogati i numeri 
colle lettere a ad essi corrispondenti, ad altrettanti periodi fra gli elementi: 41, 42,....@%, 
periodi che si potrebbero ottenere altresì dal gruppo (I°) col processo di spartizione in 
periodi degli elementi del gruppo transitivo d’ordine 4 e di grado pu, in isomorfismo 
oloedrico col gruppo fondamentale. Ciò premesso, imaginando surrogati i numeri 
di una 3 dai corrispondenti elementi a, ed applicando il precedente teorema, con- 
cluderemo che : i 
« Esistono sostituzioni, (fra queste le 3), che consistono in soli scambî fra i 
periodi ne’ quali ogni gruppo minore spartisce gli elementi del gruppo transitivo d’or- 
dine e grado eguali, in isomorfismo oloedrico con un gruppo maggiore che lo con- 
tenga, quando, e soltanto quando le sostituzioni del gruppo maggiore siano permutabili 
a quelle del minore ». 
Sostituzioni 9. È ora naturale la ricerca della forma delle sostituzioni 9 che 
identificano ogni sostituzione del gruppo potenziale alla corrispondente del gruppo 
antipotenziale. Siffatta ricerca è molto semplice. Un elemento ® considerato come ap- 
partenente alle sostituzioni del gruppo potenziale, si supponga identificato all’ele- 
mento g' delle sostituzioni del gruppo antipotenziale. Supponendo che le sostituzioni 
del gruppo potenziale ordinatamente corrispondenti alle sostituzioni: T1, T2,.... Tu del 
gruppo fondamentale subordinino all'elemento @ i numeri: 1, 2, .... &u,e che lo 
sostituzioni corrispondenti del gruppo antipotenziale subordinino a g' i numeri: 
81, fa, fe, le sostituzioni 3 avranno per denominatori le serie: @1, Q2;.... &4, @ 
per numeratori le serie: f1, £a,.,.. fe. Sarà adunque in generale: 
-& Bar ce 1). 
1, 9, ces (47) 
E poichè per k=(1,2,...p), si ha: 
RR IN, To, 
sarà: 
DATATA Tri 
R ì 
k 
