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Segue: 
T,.1,=T,.Ty=T, 
Br 
essendo T, una sostituzione qualsivoglia del gruppo fondamentale. Rappresentando 
per 9, quella fra le sostituzioni (5) che, (fissato il valore di g), è determinata 
dall’equazione : 
fol da ; 
e rammentando i simboli t,, #1 ty, già adoperati per designare gl’indici delle sosti- 
tazioni: T,, T, 1 T,, avremo: 
A 
Pera Ùo Îg 
x=( i; )I 
Dalla forma delle 3, segue, che: 
« Le sostituzioni trasformatrici S corrispondono univocamente alle sostituzioni 
del gruppo fondamentale. Il loro numero eguaglia per ciò quello delle sostituzioni 
del gruppo medesimo ». 
« La sostituzione trasformatrice 3, non isposta quegli unici elementi y della 
serie 1, 2,..t1, per i quali è soddisfatta l’equazione: T,=T, La sostituzione tra- 
sformatrice 3, corrispondente a T, sposterà adunque tutti gli elementi, se T, non è 
quadrato di sostituzioni del gruppo fondamentale, ma se T, è quadrato di sostitu- 
zioni di questo, la sostituzione 9, non isposterà quegli unici elementi che sono indici 
delle radici di T, ». 
« Fra le sostituzioni 37 ne esiste una, ed una soltanto che subordini ad un ele- 
mento dato un altro elemento parimenti dato ». 
Riflettendo, che nella S, all’elemento t. è subordinato l’elemento: to7!t,, e a 
questo l’elemento: tf, ty, otteniamo l’eguaglianza: 
to=tgltoty, 
e conseguentemente, la: 
Tilo=%b dro 
come condizione necessaria e sufficiente, affinchè il ciclo di © sia di second’ordine. 
E perciò: 
« Affinchè un determinato elemento © appartenga ad un ciclo di second’ordine 
della sostituzione trasformatrice 97, è necessario e basta che la sostituzione T,, del 
gruppo dato, sia permutabile alla sostituzione T, ». Adunque: 
« Fra le sostituzioni trasformatrici 37 ve n’ha tante di second’ordine, quante 
sono le sostituzioni del gruppo fondamentale, permutabili a tutte le sostituzioni di 
esso. Il loro numero è adunque un divisore di u». 
Poichè fra le sostituzioni del gruppo le quali sono permutabili a tutte le sosti- 
tuzioni di esso, si conta sempre l’unità, una delle sostituzioni 97, e precisamente 
quella che corrisponde all'unità, sarà certamente di second’ordine. Siffatta sostitu- 
zione H ha la forma: 
(A) 
US) 
N 
