— 158 — 
e permuta fra loro gl’indici che si trovano al piede di due quali si vogliano sosti- 
tuzioni inverse della serie: 
Mo To, oe.00 Tp. 
Le altre ssitimzioni 3 dipendono da questa che può esser detta la trasformante 
fondamentale, in modo assai semplice. 
In qual modo tutte le S dipendano dalla fondamentale, e con- 
seguenze notevoli, 
Sì osservi che: 
RS HEAT 
Il primo fattore del secondo membro dell’eguaglianza: 
cl 
rappresenta lr sostituzione T,( corrispondente a T, nel gruppo antipotenziale, mentre 
il secondo fattore è costante ed uguale alla trasformante fondamentale H. La forma 
di tutte le sostituzioni 9, si avrà adunque dall’eguaglianza: 
SATO 
ovvero, stante l’identità : 
ER (CE) 
dall’eguaglianza: i pe 
e e); 
Le sostituzioni 3 sono adunque i prodotti della 9 fondamentale per le sostitu- 
zioni del gruppo potenziale. 
Fu già notata fra il gruppo potenziale e il sistema delle $ una relazione che 
sembra degna di considerazione. Chè se ora ci piaccia, surrogando il gruppo po- 
tenziale con il gruppo transitivo. d’ordine e grado eguali in isomorfismo oloedrico 
col gruppo fondamentale, e le sostituzioni 9 con altre sostituzioni, da esse derivate 
e ad esse simili, generalizzare e compiere l’enunciato di quella relazione, con facile 
ragionamento troveremo che: 
< Esiste una sostituzione H' di second’ordine e assolutamente fissa, la quale, 
quando e soltanto quando alle sostituzioni di un gruppo minore qualsivoglia conte- 
nuto in un gruppo maggiore siano permutabili le sostituzioni di questo, è equiva- 
lente a scambî fra i periodi ne’ quali il gruppo minore spartisce gli elementi del 
gruppo transitivo d’ordine e grado eguali, in isomorfismo oloedrico col gruppo 
maggiore ». 
Se non che, abbandonando la considerazione del gruppo fondamentale e del cor- 
rispondente gruppo isomorfo, possiamo assumere oramai come soggetto delle prece- 
denti proposizioni, i gruppi transitivi d’ordine e grado eguali, riflettendo che ogni 
gruppo è in isomorfismo oloedrico con sè stesso, potendosi considerare ogni sostitu- 
zione del gruppo come corrispondente a sè medesima. Abbiamo così il: 
Teorema: I. Esiste una sostituzione H' di second’ordine e assolu- 
tamente fissa, equivalente a soli scambî fra i periodi relativi a 
art 
